Un quadrilatero ABCD è diviso dalla diagonale AC in due triangoli rettangoli in B e D. La diagonale BD è bisettrice dell'angolo ABC. Dimostra che:
a. ABCD è inscrivibile in una circonferenza;
b. il triangolo ACD è isoscele.
Un quadrilatero ABCD è diviso dalla diagonale AC in due triangoli rettangoli in B e D. La diagonale BD è bisettrice dell'angolo ABC. Dimostra che:
a. ABCD è inscrivibile in una circonferenza;
b. il triangolo ACD è isoscele.
160
punti
Livello 1
A) "ABCD è inscrivibile in una circonferenza" infatti ...
Gli angoli alla circonferenza in B e D sono retti per ipotesi, quindi i corrispondenti angoli al centro sono piatti e la diagonale AC, ipotenusa comune ai triangoli ABC e ADC, risulta diametro comune alle due semicirconferenze circoscritte ai triangoli. Perciò l'intero quadrilatero è inscritto nella circonferenza che si ha per giustapposizione delle semicirconferenze.
---------------
B) "il triangolo ACD è isoscele" (ed anche ACB) infatti ...
Se la diagonale BD è bisettrice dell'angolo ABC che è retto, dev'esserlo anche di ABD che è retto anch'esso e deve risultare speculare; vale a dire che ABCD è quadrato e le sue metà sono isosceli.
57434
punti
Genius I
La prima parte é ovvia. I due angoli retti sono opposti e ovviamente supplementari.
Anche gli altri due per differenza saranno supplementari.
Per la seconda parte, se si chiamano "alfa" le due parti in cui BD divide ABC^,
AD = DC perché sono corde sottese dagli archi AD e DC a cui alfa e alfa sono associati.
50635
punti
Livello 7