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[Risolto] Problema di geometria

  

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Nel triangolo isoscele $A B C$, di base $A B, D$ ed $E$ sono i punti medi rispettivamente di $A C$ e $C B$. Sapendo che $A B=48 cm$ e $C B=40 cm$, deter$\operatorname{mina} P$ su $A B$ in modo che:
$$
\overline{P D}^2+\frac{3}{16} \overline{P E}^2=560
$$
$$
[P B=19 cm]
$$

 

Buona giornata a tutti; c'è qualcuno che vuole gentilmente aiutarmi a risolvere il problema che allego alla presente? Ci sto provando da ieri, ma non riesco a giungere alla sua conclusione. Grazie a chi vorrà fornirmi il suo aiuto.

20230208 163414

 

Autore

P.S. Il problema in questione è il 360. 

1 Risposta



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Punti
* P(k, 0), A(- 24, 0), B(24, 0), C(0, √(40^2 - 24^2)) = (0, 32)
* D = (C + A)/2 = ((0, 32) + (- 24, 0))/2 = (- 12, 16)
* E = (C + B)/2 = ((0, 32) + (+ 24, 0))/2 = (+ 12, 16)
Distanze
* |PD| = |(- 12, 16) - (k, 0)| = |(- 12 - k, 16)| = √((12 + k)^2 + 16^2) = √(k^2 + 24*k + 400)
* |PE| = |(+ 12, 16) - (k, 0)| = |(+ 12 - k, 16)| = √((12 - k)^2 + 16^2) = √(k^2 - 24*k + 400)
Equazione
* |PD|^2 + (3/16)*|PE|^2 = 560 ≡
≡ k^2 + 24*k + 400 + (3/16)*(k^2 - 24*k + 400) - 560 = 0 ≡
≡ (19/16)*(k + 20)*(k - 68/19) = 0 ≡
≡ (k = - 20) oppure (k = 68/19 = 3.(578947368421052631))
Soluzione
* |PB| = |(24, 0) - (k, 0)| = |(24 - k, 0)| = |24 - k|
* |P1B| = |24 - (- 20)| = 44
* |P2B| = |24 - 68/19| = 388/19 = 20.(421052631578947368)
CONCLUSIONE
O io ho cannato di brutto oppure il risultato atteso (|PB| = 19) esce dalle sequenze finali di "C'era una volta in America".

@exprof confermo il risultato, avendo usato un altro metodo

@exprof 

Ciao grazie per la risposta; non è la prima volta che su quel libro ci sono risultati errati, oppure il testo dell'esercizio non è riportato correttamente. Buona serata.



Risposta
SOS Matematica

4.6
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