problema di geometria, 3° media

Se la somma delle diagonali è 42 e la loro differenza è 6 possiamo calcolare la minore

d=(42-6)/2 = 18 cm

D=18+6=24 cm

L'area del rombo risulta:

S=(d*D) /2 = 9 * 24 = 216 cm²

Calcoliamo anche il perimetro che ci verrà utile in seguito per calcolare il raggio della circonferenza inscritta. 

Calcoliamo il lato attraverso il teorema di Pitagora utilizzando le semi diagonali. Risulta:

L=Radice quadrata (9²+12²) = Radice quadrata (225) = 15 cm

Quindi il perimetro risulta :

2p= 15*4= 60 cm

Posso quindi calcolare il raggio della circonferenza inscritta attraverso la formula:

raggio = (2* Area) / perimetro = (216*2)/60 = 216/30 = 7.2 cm

Noto il raggio puoi facilmente calcolare l'area del cerchio e l'area della parte colorata per differenza tra l'area del rombo e quella del cerchio inscritto

D+d = 42

D-d = 6

si somma membro a membro 

2D = 48

D = 24 cm

d = 24-6 = 18 cm 

lato BC = √(D/2)^2+/d/2)^2 = √12^2+9^2 = 15 cm

raggio OH = D/2*d/2/BC = 12*9/15 = 7,20 cm  

Area colorata A :

A = D*d/2-0,7854*14,4^2 = (24*18/2)-0,7854*14,4^2 = 53,14 cm^2  

Conoscendo somma e differenza delle diagonali calcola come segue:

diagonale maggiore $D= \frac{42+6}{2} = \frac{48}{2} = 24~cm$;

diagonale minore $d= \frac{42-6}{2} = \frac{36}{2} = 18~cm$;

area del rombo $A_{rombo}= \frac{D×d}{2} = \frac{24×18}{2} = 216~cm^2$;

lato $l= \sqrt{(\frac{D}{2})^2 + (\frac{d}{2})^2} = \sqrt{(\frac{24}{2})^2 + (\frac{18}{2})^2} = \sqrt{12^2+9^2} = 15~cm$;

perimetro $2p= 4l = 4×15 = 60~cm$;

raggio del cerchio inscritto (apotema) $r= \frac{2A}{2p} = \frac{2×216}{60} = 7,2~cm$;

area del cerchio inscritto $A_{cerchio}= r^2π = 7,2^2×π = 162,86~cm^2$;

area della parte colorata $A_{colorata}= A_{rombo}-A_{cerchio} = 216-162,86 = 53,14~cm^2$.

RIPASSI
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1) In un rombo di cui siano note le diagonali (a, b) il lato L è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo con cateti le semidiagonali
* L = √((a/2)^2 + (b/2)^2)
l'area S è il semiprodotto delle diagonali, ma anche il prodotto di lato e altezza h
* S = a*b/2 = L*h ≡ h = a*b/(2*L)
l'inraggio r è metà dell'altezza
* r = h/2 = a*b/(4*L) = a*b/(4*√((a/2)^2 + (b/2)^2))
e l'area C dell'incerchio è
* C = π*r^2 = π*(a*b/(4*L))^2 = (π/4)*(a*b)^2/(a^2 + b^2)
Infine la differenza D fra le aree del rombo e dell'incerchio è
* D = S - C = a*b/2 - (π/4)*(a*b)^2/(a^2 + b^2) =
= (a*b/4)*(2 - π*a*b/(a^2 + b^2))
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2) Se di due valori incogniti (x, y) sono date somma (s = x + y) e differenza (d = x - y) allora essi valgono semisomma e semidifferenza dei dati
* x = (s + d)/2
* y = (s - d)/2
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ESERCIZIO 103
I quesiti chiedono di calcolare i valori di
* r = a*b/(4*√((a/2)^2 + (b/2)^2))
* C = (π/4)*(a*b)^2/(a^2 + b^2)
* D = (a*b/4)*(2 - π*a*b/(a^2 + b^2))
in base ai dati
* s = a + b = 42 cm
* d = a - b = 6 cm
quindi prima si calcolano
* a = (42 + 6)/2 = 24 cm
* b = (42 - 6)/2 = 18 cm
e poi
* r = 36/5 = 7.2 cm
* C = (1296/25)*π ~= 162.86 cm^2
* D = 108*(2 - 12*π/25) ~= 53.14 cm^2