[Risolto] Problema di geometria

Quattro domande consecutive
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/85305, /85306, /85307
da @karola_marchese
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/85308/
da @giovannilucaaautiero
tutt'e quattro sull'argomento "prisma retto" e tutt'e quattro così scioccamente arzigogolati (e con errori: 85307 dà una densità adimensionale!) da scoraggiare ogni buona volontà da parte di un/a dodicenne alla cui attenzione vengano sottoposti.
Esercizi scritti così rischiano di confondere le idee a quegli stessi ragazzi a cui gli esercizi da svolgere dovrebbero chiarirle e rinforzarne la memorizzazione.
Bah, così va il mondo dei libri di testo!
Scrivo questa risposta, che pubblicherò su tutt'e quattro le domande nel tentativo di aiutare i due richiedenti a svolgere nella loro mente gli esercizi mentre i loro occhi seguono le mie considerazioni.
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1) Presentazione
1a) Non occorre aggiungere a ogni misura la sua unità quand'è la stessa per l'intero esercizio: basta iniziare lo svolgimento con una riga che la dichiari.
"Misure in m, m^2, m^3" per 85306
"Misure in cm, cm^2, cm^3" per 85305, 85308
"Misure in cm, cm^2, cm^3, g" per 85307
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1b) Subito dopo la riga con le unità si assegna un nome simbolico ad ogni entità del problema e gli si associano o l'eventuale valore dato oppure le relazioni (scritte coi nomi assegnati) con cui ricavarlo da altre entità nominate.
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2) Richieste della consegna
Tutt'e quattro gli esercizi chiedono, del prisma retto,
* il volume V = B*h
altre richieste non di tutti sono
* la massa m = ρ*V
* l'area della superficie laterale SL = p*h
* l'area della superficie totale ST = SL + 2*B = p*h + 2*B
dove
* ρ = densità
* h = altezza del prisma
* p = perimetro di base
* B = area di base
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3) Arzigogoli
Per trovare h, p, B, con cui soddisfare alla consegna è implicitamente assegnato un sottoproblema che ha come dati la forma del poligono di base e quanto basta a risolverlo, ma nel modo più contorto possibile.
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3a) 85307
* base: triangolo rettangolo di lati 0 < a <= b < c = √(a^2 + b^2)
* cateti: somma s = 9.8, differenza d = 6.2
* superficie totale ST = 221.4
* densità ρ = 7.5 = 15/2 (SENZA UNITA'! ragionevolmente g/cm^3)
Risoluzione
* cateto minore a = (s - d)/2
* cateto maggiore b = (s + d)/2
* ipotenusa c = √(a^2 + b^2) =
= √(((s - d)/2)^2 + ((s + d)/2)^2) = √((d^2 + s^2)/2)
* perimetro p = a + b + c =
= (s - d)/2 + (s + d)/2 + √((d^2 + s^2)/2) = s + √((d^2 + s^2)/2)
* area B = a*b/2 = (s^2 - d^2)/8
* altezza h = (ST - 2*B)/p =
= (ST - 2*(s^2 - d^2)/8)/(s + √((d^2 + s^2)/2))
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3b) 85308
* base: rettangolo di lati 0 < a < b = (9/8)*a
* perimetro p = 2*(a + b) = 102
* altezza h = 21
Risoluzione
* perimetro p = 2*(a + b) = 2*(a + (9/8)*a) = (17/4)*a
* a = (4/17)*p
* b = (9/8)*(4/17)*p = (9/34)*p
* area B = a*b = (4/17)*p*(9/34)*p = 18*(p/17)^2
* superficie totale ST = p*h + 2*B = p*h + 36*(p/17)^2
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3c) 85306
* base: rombo
* diagonali (d, D = (55/48)*d)
* lato L = √(d^2 + D^2)/2 = (73/96)*d
* area B = d*D/2 = (55/96)*d^2 = 52.8
* superficie totale ST = p*h + 2*B = 704.2
Risoluzione
* d = 4*√(6*B/55)
* D = √(55*B/6)/2
* p = 4*L = 4*(73/96)*d = (73/24)*4*√(6*B/55) = 73*√(B/330)
* h = (ST - 2*B)/p = (ST - 2*B)/(73*√(B/330))
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3d) 85305
* base: quadrato di lato L
* altezza h = 2*L
* somma degli spigoli s = 4*h + 8*L = 16*L = 112
Risoluzione
* L = s/16
* p = 4*L = s/4
* B = L^2 = s^2/256
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MA VE L'IMMAGINATE un/a normale ragazzino/a di seconda media che si fa da solo questi ragionamenti DURANTE LE VACANZE mentre nella stanza accanto fratelli e cugini fanno l'ira d'iddio? GLI EROI DODICENNI SONO PIUTTOSTO RARI.