problema di geometria

L'area del cerchio si calcola come $A=\pi r^{\wedge} 2$ ed è la misura della superficie del cerchio, ossia l'area della regione di piano delimitata dalla circonferenza; si ricava come prodotto tra Pi Greco e il quadrato del raggio $r$.
Per il calcolo dell'area del cerchio si può inoltre ricorrere a svariate formule, a seconda dei dati forniti dal problema.

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Formule per l'area del cerchio
Vediamo quali sono le formule per l'area del cerchio, ma prima specifichiamo la corrispondenza tra i nomi e i simboli che useremo: $\pi$ indica la costante Pi Greco, $r$ è il raggio del cerchio, $d$ il suo diametro, $A$ è l'area del cerchio, $2 p$ il suo perimetro, ossia la lunghezza della circonferenza.

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Solitamente è consentito sostituire a Pi Greco il valore approssimato $\pi \simeq 3,14$.

Area del cerchio col raggio
Indicando con $A$ l'area del cerchio, $\operatorname{con} r$ il suo raggio e con $\pi$ il Pi Greco, abbiamo
$$
A=\pi \cdot r^2
$$
ossia l'area di un cerchio si ottiene moltiplicando il quadrato del raggio per Pi Greco.

Esempio - calcolo area cerchio con il raggio
A titolo di esempio risolviamo l'esercizio proposto, che ci chiede di trovare la superficie del cerchio partendo dal raggio.

Sapendo il raggio del cerchio misura 12 centimetri, possiamo applicare direttamente la formula per il calcolo dell'area e quindi
$$
\begin{aligned}
&A=\pi \cdot r^2 \simeq 3,14 \cdot(12 cm )^2= \\
&=3,14 \cdot\left(144 cm ^2\right)=452,16 cm ^2
\end{aligned}
$$

Area del cerchio col diametro
Detto $d$ il diametro del cerchio, la formula che ci permetterà di trovarne l'area è la seguente
$$
A=\pi \cdot \frac{d^2}{4}
$$

Esempio - calcolo area cerchio con il diametro
Calcolare l'area di un cerchio il cui diametro misura 8 metri.
Sostituendo $d=8 m$ e $\pi=3,14$ nella formula precedente, otteniamo
$$
\begin{aligned}
&A=\pi \cdot \frac{d^2}{4} \simeq 3,14 \cdot \frac{(8 m )^2}{4}= \\
&=3,14 \cdot \frac{64 m ^2}{4}=3,14 \cdot\left(16 m ^2\right)=50,24 m ^2
\end{aligned}
$$
Area del cerchio con la circonferenza
Se si conosce la misura $C$ della circonferenza è possibile ricavare l'area del cerchio ricorrendo alla formula seguente
$$
A=\frac{C^2}{4 \pi}
$$

Esempio - calcolo area cerchio con la lunghezza della circonferenza
Trovare l'area del cerchio delimitato da una circonferenza di 56,52 decimetri.
Applicando la formula data troviamo
$$
A=\frac{C^2}{4 \pi} \simeq \frac{(56,52 dm )^2}{4 \cdot 3,14}=
$$
$$
=\frac{3194,5104 dm ^2}{12,56}=254,34 dm ^2
$$

Occorre davvero ricordare tutte le formule dell'area del cerchio?
Più si procede con lo studio della Geometria Piana, più formule ci saranno da ricordare. È quindi davvero necessario conoscere tutte e tre le formule riportate poc'anzi?
La risposta è no: I'unica formula da sapere è quella dell'area del cerchio con il raggio.
Infatti, se si conosce la misura del diametro possiamo subito trovare la lunghezza del raggio
$$
r=\frac{d}{2}
$$
Allo stesso modo, la misura della circonferenza $C$ è data da
$$
C=2 \cdot \pi \cdot r
$$
e quindi il raggio si ottiene invertendo tale formula
$$
r=\frac{C}{2 \cdot \pi}
$$

@ajshe 

Area del cerchio = raggio al quadrato moltiplicato pi greco, cioè

$A= r^2×π$  $(π≅ 3,14)$.

L'area del cerchio non la si misura, bensì la si calcola (si può misurare, quello si, il suo diametro con un righello o con un metro rigido od a nastro).

Una volta misurato il diametro d, l'area A da calcolare vale :

A = 0,78540*d^2 

...0,78540 essendo una eccellente approssimazione di π/4

Se r è il raggio:

A =pi*r^2

Si misura in cm^2, oppure in m^2, km^2, dipende dalla misura del raggio.

Area = pigreco * r^2;

Area cerchio = 3,14 * (raggio)^2;

Se r = 10 cm;

area = pigreco * 10^2 = 100 * 3,14 = 314 cm^2;

area = 0,0314 m^2.

@ajshe  ciao

LA STITICHEZZA VERBALE GENERA DOMANDE CHE SEMBRANO EQUIVOCHE (e spesso lo sono!).
Nella domanda "come si misura l’area del cerchio?" ci sono troppo poche parole per capire che risposta ti può essere più utile.
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Se tu sei una scolaretta (Ajshe equivale a Viviana, vero?) delle elementari la risposta utile è una descrizione a parole delle operazioni da eseguire «Moltiplica la misura del raggio per se stessa e il risultato per 3.14».
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Se tu sei una scolara delle medie inferiori la risposta utile è sempre una descrizione, ma in termini differenti «L'area del cerchio è pigreco volte il quadrato del raggio.».
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Se tu sei un'alunna delle medie superiori la risposta utile è solo una formuletta, dando per scontato che i simboli già sai cosa siano «A = π*r^2».
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Se tu sei una studentessa universitaria, matricola di una facoltà scientifica o tecnica, e la domanda nasce dal dover scrivere una Relazione di Laboratorio per Fisichetta Uno la risposta utile è un'iradiddio: te ne do un accenno, poi tocca a te aggiungere pignolerie e precisazioni per riempire almeno due pagine.
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La misura dell'area di un cerchio è una tipica misura indiretta, risultato di un calcolo che ha come operandi una misura diretta di lunghezza e un'approssimazione razionale di una costante trascendente con precisione dello stesso ordine di grandezza di quella della lunghezza.
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L'approssimazione di π si può fare sullo sviluppo decimale
* π ~= 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923
o anche sulle prime convergenti dello sviluppo in frazione continua
* π ~~ {3, 22/7 ~= 3.14, 333/106 ~= 3.1415, 355/113 ~= 3.141592, 103993/33102 ~= 3.141592653, ...}
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La precisione della misura di lunghezza dipende molto da quale sia il cerchio e come sia dato.
In un corso di "Agraria" può essere un "Cerchio nel grano" dal diametro di circa sette metri.
In un corso di "Meccanica Fine e Orologeria" può essere la sezione di un perno dal diametro di meno di un millimetro.
In un corso di "Disegno Tecnico" può essere un cerchio appena disegnato col raggio di pochi centimetri.
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Per il cerchio nel grano la misura è da agrimensore: si pone in stazione il telemetro a laser IR con l'emettitore sulla circonferenza e, in posizione diametralmente opposta, la palina riflettente che si sposta qua e là leggendo le varie distanze (diametro); si assume come valore attendibile la misura massima e come incertezza la semidispersione (per il raggio si dimezza).
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Per la sezione del perno si usa un micrometro al centimillimetro che si sposta qua e là leggendo le varie misure di calibro (diametro); si assume come valore attendibile la media delle misure e come incertezza la semidispersione (per il raggio si dimezza).
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Per il cerchio disegnato si usa un righello millimetrato per stimare l'apertura del compasso (raggio); si assume come valore attendibile la stima a traguardo e come incertezza mezzo millimetro.
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In un modo o nell'altro si deve ottenere una stima attendibile di r
* r = (raggio ± incertezza) = (R ± d) ≡ R - d <= r <= R + d
su cui calcolare l'errore relativo
* ε = d/R
da assumere come termine di paragone per l'approssimazione di π (p.es. 355/113).
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Il calcolo di A = π*r^2 si svolge con pochi passaggi.
* R - d <= r <= R + d
* (R - d)^2 <= r^2 <= (R + d)^2
* L = (355/113)*(R - d)^2 <= π*r^2 <= (355/113)*(R + d)^2 = U
* a = (U + L)/2 = ((355/113)*(R + d)^2 + (355/113)*(R - d)^2)/2 = (355/113)*(R^2 + d^2)
* Δa = (U - L)/2 = ((355/113)*(R + d)^2 - (355/113)*(R - d)^2)/2 = (710/113)*R*d
e finalmente
A = (a ± Δa) = ((355/113)*(R^2 + d^2) ± (710/113)*R*d)