Problema di geometria

Ciao e benvenuta.

Vedi allegato:

114)

In una semicirconferenza avente il raggio di 12,5 cm è inscritto un trapezio isoscele il cui lato obliquo misura 15 cm; calcola il perimetro e l’aria del trapezio:

Risposta:

Base maggiore del trapezio uguale diametro della circonferenza $B= 2r = 2×12,5 = 25~cm$;

lavoriamo sul triangolo rettangolo formato, dalla base maggiore, dal lato obliquo e dalla diagonale del trapezio (tale triangolo è rettangolo perché inscritto nella semicirconferenza):

diagonale del trapezio = cateto maggiore $C= \sqrt{25^2~-15^2} = 20~cm$ (teorema di Pitagora);

proiezione diagonale (cateto maggiore) sulla base maggiore $= \frac{20^2}{25} = \frac{400}{25}= 16~cm$ (1° teorema di Euclide);

proiezione lato obliquo $= 25-16 = 9~cm$;

altezza triangolo = altezza trapezio $h=\sqrt{16×9}= 12~cm$ (2° teorema di Euclide);

base minore $b= 25-2×9 = 25-18 = 7~cm$;

infine:

perimetro del trapezio $2p= B+b+2×lo = 25+7+2×15 = 62~cm$;

area del trapezio $A= \frac{(B+b)×h}{2} = \frac{(25+7)×12}{2} = 192~cm^2$. 

B = 2r = 25 cm

Lo = 15 cm 

angolo ACB = 90°

AC = √25*2-15^2 = √625-225 = 20 cm 

b = 30-25 = 5 cm 

BF = (AB-CD)/2 = (25-5)/2= 10 cm 

altezza CF = √15^2-10^2 = √225-100 = 5√5  cm 

AF = AC^2/AB = 400/25 = 16 cm

FB = AB-AF = 25-16 = 9 cm 

altezza CF = √AF*FB = √16*9 = √144 = 12 cm 

base minore CD = 25-2*9 = 7 cm 

perimetro 2p = 2*15*25+7 = 62 cm

area A = (25+7)*12/2 = 192 cm^2 

Un trapezio isoscele inscritto in una semicirconferenza di raggio "r" ha
* 2*r = diametro = base maggiore
* b = base minore
* h = altezza
* L = lato obliquo
* p = 2*L + 2*r + b = perimetro
* S = h*(2*r + b)/2 = area
---------------
La semidifferenza delle basi e l'altezza sono cateti di un triangolo rettangolo che per ipotenusa ha il lato obliquo
* L^2 = h^2 + ((2*r - b)/2)^2
La metà della base minore e l'altezza sono cateti di un triangolo rettangolo che per ipotenusa ha il raggio
* r^2 = h^2 + (b/2)^2
---------------
Con i valori dell'esercizio
* r = 12,5 = 25/2 cm
* L = 15 cm
si ha
* p = 2*15 + 2*(25/2) + b = b + 55
* S = h*(2*(25/2) + b)/2 = (b + 25)*h/2
* 15^2 = h^2 + ((2*(25/2) - b)/2)^2 ≡ b^2 - 50*b + 4*h^2 = 275
* (25/2)^2 = h^2 + (b/2)^2 ≡ b^2 + 4*h^2 = 625
Delle due intersezioni reali fra le due ellissi pitagoriche
* (b^2 - 50*b + 4*h^2 = 275) & (b^2 + 4*h^2 = 625) ≡
≡ (b = 7) & (h = ± 12)
ha senso per il problema solo (b = 7) & (h = 12), da cui
* p = b + 55 = 7 + 55 = 62 cm
* S = (b + 25)*h/2 = (7 + 25)*12/2 = 192 cm^2