Problema di fisica - moto parabolico

Le componenti vettoriali della velocità sono 

\[v_{0x} = v_0 \cos{(\alpha)} \qquad v_{0y} = v_0 \sin{(\alpha)}\,.\]

Utilizzando l'equazione del moto verticale

\[y_f = y_0 + v_{0y}t - \frac{1}{2}gt^2 \implies t^2 = \frac{2(-y_f + y_0 + v_{0y}t)}{g} \iff t = \sqrt{\frac{2(-y_f + y_0 + v_{0y}t)}{g}} \implies\]

\[d = v_{0x}t\,.\]

Nell'istante prima dell'impatto con il suolo, si ha

\[v_{x} = k \in \mathbb{R} \qquad v_{y} = v_{0y} - gt\,.\]

L'altezza del punto più alto della traiettoria è calcolabile come 

\[y_{max} = y_0 + v_{0y}t_{max} - \frac{1}{2}gt_{max}^2 \:\Bigg|_{\substack{t_{max} = \frac{v_{0y}}{g}}}\,.\]

[η, μ] componenti della velocità iniziale

η = 22·COS(38°) = 17.336 m/s (circa)

μ = 22·SIN(38°) = 13.545 m/s (circa)

Il moto è regolato dalle seguenti leggi.

{x = η·t---> moto uniforme orizzontale

{y = h + μ·t - 1/2·g·t^2----> componente verticale (parabolica)

{v = μ - g·t----> componente verticale della velocità

precisiamo inoltre.

h = 15 m

g = 9.806 m/s^2

Scriviamo quindi numericamente le prime due leggi.

{x = 17.336·t

{y = 15 + 13.545·t - 1/2·9.806·t^2

Quindi calcolo il tempo di impatto al suolo:

0 = 15 + 13.545·t - 1/2·9.806·t^2

risolvo ed ottengo:

t = 3.61 s (il tempo negativo lo scarto)

Quindi la distanza di arrivo d vale:

d=17.336·3.61 = 62.58 m

Componente verticale della velocità un attimo prima dell'impatto:

v = 13.545 - 9.806·3.61 = -21.855 m/s (verso opposto a quello delle y)

L'orizzontale si mantiene pari ad 17.336 m/s

Quota massima:

v = μ - g·t per v = 0: 0 = 13.545 - 9.806·t

t = 1.381 s

ymax= 15 + 13.545·1.381 - 1/2·9.806·1.381^2 = 24.35 m (circa)

Un proiettile è sparato dalla sommità di un edificio alto 15 m, con velocità iniziale Vo = 22 m/s ed un angolo αo = 38° rispetto all’orizzontale. Si determini:

a) la distanza d dalla base dell’edificio del punto d’impatto col suolo

equazione verticale del moto :

0-15 = Vo*sin 38°*t-g/2*t^2

-15-22*0,616*t+4,903t^2 = 0 

t = (13,54+√13,54^2+60*4,903)/9,806 = 3,609 s

d = Vo*cos 38°*t = 22*0,788*3,609 = 62,57 m 

b) le componenti orizzontale e verticale della velocità un istante prima dell’impatto con il suolo

Vx = Vox = 22*0,788 = 17,34 m/s

V = √Vo^2+2gho = √22^2+19,612*15 = 27,90 m/s

Vy = √V^2-Vx^2 = 21,86 m/s 

c) l’altezza H del punto più alto della traiettoria.

H = ho+Δh = ho+(Vo*sin 38)^2/2g = 15+(22*0,616)^2/19,612 = 24,36 m 

Risulta

vx = vo cos @

vy = vo sin @ - g t

ed anche

x = vo t cos @

y = h + vo t sin @ - 1/2 g t^2

Un modo per affrontare il punto a) é il seguente :

si ricava l'equazione della traiettoria e si risolve in x
ponendo y = 0

t = x/(vo cos @)

y = h + x tg @ - g/2 x^2/(vo^2 cos^2(@))

g/2 X^2/(vo^2 cos^2(@)) - X tg @ - h = 0

4.9/(22^2* cos^2(pi*38/180)) X^2 - tan(38*pi/180) - 15 = 0

0.016304 X^2 - 0.7813 X - 15 = 0

X = 62.614 m

b) vx* = 22*cos (38*pi/180) m/s = 17.336 m/s

vy* = 22*sin(38*pi/180) - 9.8*62.614/(22*cos(38*pi/180)) m/s = -21.851 m/s

c) la massima altezza corrisponde a vo sin @ - g tau = 0

tau = vo sin @/g

y(tau) = h + vo sin @ * vo sin @/g - g/2 vo^2 sin^2(@)/g^2 =

= h + vo^2/(2g) * sin^2(@) = 15 + 22^2/19.61 * (sin(38*pi/180))^2 m = 24.355 m

Controlla i calcoli.

Per tutti gli esercizi di cinematica del punto materiale si comincia dallo scrivere, ma SOPRATTUTTO DAL PENSARE, "punto materiale" al posto di qualsiasi oggetto mobile sia nominato in narrativa.
Inoltre l'argomento è talmente antico da avere una propria terminologia consolidatasi nei secoli.
La "velocità iniziale" si chiama "velocità di lancio" o, per le armi, "velocità alla volata".
L' "angolo rispetto all'orizzontale" si chiama "alzo".
La "la distanza d" si chiama "gittata".
La "velocità un istante prima" si chiama "velocità d'impatto".
L' "altezza del punto più alto della traiettoria" si chiama "quota del culmine".
Quindi
«
Un punto materiale, soggetto alla gravità terrestre, si lancia con velocità V = 22 m/s e alzo θ = 38° dalla quota h = 15 m.
Si chiedono:
a) la gittata;
b) le componenti orizzontale e verticale della velocità d'impatto al suolo;
c) la quota del culmine.
»
Una volta che ci si siano chiarite le idee sui risultati richiesti e i dati forniti il secondo passo è la consultazione del libro di testo per ricopiare il modello matematico generale per la categoria cui appartiene il problema dello specifico esercizio.
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I passi successivi sono:
* particolarizzare il modello generale per lo specifico esercizio;
* manipolare il modello particolare ottenuto per ottenere i risultati richiesti (determinati o indeterminati) o per dimostrarne l'impossibilità;
* esibire risultati e/o dimostrazioni.
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Modello generale
Un punto materiale lanciato dalla posizione Y(0, h) con velocità di modulo V e alzo θ (con V > 0 e θ in [- π/2, π/2]) ha la posizione istantanea P(x, y) data da
* x(t) = V*cos(θ)*t
* y(t) = h + (V*sin(θ) - (g/2)*t)*t
e la velocità istantanea v(t) = (V*cos(θ), vy(t)) data da
* vy(t) = V*sin(θ) - g*t
NOTE
1) Senza il valore locale per l'accelerazione di gravità si deve usare lo standard SI
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
2) La traiettoria percorsa si ricava eliminando il parametro tempo dalle equazioni delle coordinate.
3) Se θ > 0 la traiettoria culmina nell'istante T = V/g > 0 in cui la velocità di salita s'azzera e le coordinate del culmine sono
* x(V/g) = cos(θ)*V^2/g
* y(V/g) = h + (sin(θ) - 1/2)*V^2/g ERRATO
Modello particolare
* x(t) = 22*cos(38°)*t
* y(t) = 15 + (22*sin(38°) - (9.80665/2)*t)*t
* vy(t) = 22*sin(38°) - 9.80665*t
* v(t) = (22*cos(38°), vy(t))
Manipolazioni
La gittata è x(T), con T > 0 tale che
* y(T) = 15 + (22*sin(38°) - (9.80665/2)*T)*T = 0 ≡
≡ T^2 - 2.76232*T - 3.05915 = 0 ≡
≡ T ~= 3.60978 ~= 3.6 s
* x(T) = 22*cos(38°)*T ~= 62.58 m
* vy(T) = 22*sin(38°) - 9.80665*T ~= - 21.855 ~= - 21.86 m/s
* v(T) = (17.34, - 21.86) m/s
Le coordinate del culmine sono ERRATO
* x(V/g) = cos(38°)*22^2/9.80665 ~= 38.89 m
* y(V/g) = 15 + (sin(38°) - 1/2)*22^2/9.80665 ~= 20.708 ~= 20.71 m
Risposte ai quesiti
a) ~= 62.58 m
b) ~= (17.34, - 21.86) m/s
c) ~= 20.71 m ERRATO

@vuoto
Grazie @Remanzini_Rinaldo che ha attirato la mia attenzione su una delle mie botte di vecchiaia posso correggere un calcolo ingannevole.
Si raggiunge il culmine per vy(t) = 0
* vy(t) = 22*sin(38°) - 9.80665*t = 0 ≡ t = 2.24338*sin(38°) ~= 1.38 s
da cui
* y(V*sin(θ)/g) = 15 + (22*sin(38°) - (9.80665/2)*2.24338*sin(38°))*2.24338*sin(38°) ~=
~= 24.35 m
con molte scuse.