Problema di fisica

L'istante temporale d'incontro dei due corpi puntiformi si ricava dalla relazione

\[y_1(t) = y_2(t) \implies h - \frac{1}{2}gt^2 = v_0t - \frac{1}{2}gt^2 \implies h = v_0t \iff t = \frac{h}{v_0} = 3\:s\,;\]

allora il punto d'intersezione è

\[y_2(3) = 30 \cdot 3 - \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot 9 = 90 - 44,1 = 45,9\:m\,.\]

Le loro velocità nell'intorno topologico del punto d'incontro sono

\[\vec{v}_1 = \vec{g}t = -|\vec{g}|\hat{j}t = -29,4\hat{j}\:m\,s^{-1}\]

\[\vec{v}_2 = \vec{v}_0 + \vec{g}t = \vec{v}_0\hat{j} - |\vec{g}|\hat{j}t = 0,6\hat{j}\:m\,s^{-1}\,.\]

Anzitutto ti clicko un cuoricino per ringraziarti d'avere scritto tutto come puro testo.
Poi t'invito a considerare il problema astratto, senza i dati dello specifico esercizio.
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Nel modello del moto rettilineo verticale sotto gravità terrestre (g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2)
* y(t) = h + (V - (g/2)*t)*t
* v(t) = V - g*t
all'istante t = 0 inizia il moto di due punti materiali: uno in caduta libera dalla quota h > 0, l'altro lanciato dal suolo verso l'alto in verticale con velocità V > 0.
Si chiede di determinare lo stato delle cose nell'istante in cui i due mobili attingono la medesima quota.
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Caduta libera
* y1(t) = h - (g/2)*t^2
* v1(t) = - g*t
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Lancio in alto
* y2(t) = (V - (g/2)*t)*t
* v2(t) = V - g*t
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All'istante T > 0 si ha
* (h - (g/2)*T^2 = (V - (g/2)*T)*T) & (h > 0) & (g > 0) & (T > 0) ≡
≡ T = h/V
da cui la comune posizione, una frazione di h, e le due velocità
* y(T) = (1 - g*h/(2*V^2))*h
* v1(T) = - g*h/V
* v2(T) = V - g*h/V
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Una volta compreso bene il problema astratto, l'esercizio si svolge correttamente con la semplice sostituzione dei valori dati
* h = 90 m
* V = 30 m/s
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
al posto dei nomi simbolici
* T = 3 s
* y(3) = 1834803/40000 = 45.870075 ~= 45.87 m
* v1(3) = - (196133/20000)*3 = - 588399/20000 ~= - 29.41995 ~= - 29.42 m/s
* v2(3) = 30 - (196133/20000)*3 = 11601/20000 ~= 0.58005 ~= 0.58 m/s

Le leggi orarie sono

y1(t) = H - 1/2 g t^2

y2(t) = vo t - 1/2 g t^2

si incontrano quando vo T = H => T = H/vo

y* = H - g/2 H^2/vo^2 = H (1 - gH/(2vo^2)) =

= 90 * ( 1 - 9.806*90/(2*900)) m = 45.87 m

v1(T) = - (g T) iy = - gH/vo iy

|v1| = 9.806*90/30 m/s = 29.42 m/s

v2(T) = vo - g T = (30 - 9.806*90/30) = 0.58 m/s

Dalla cima di una torre, alta h = 90 m, viene lasciata cadere una sferetta nello stesso istante (t= 0) in cui viene lanciata dal suolo, verticalmente verso l'alto, una seconda sferetta con velocità iniziale Voy = 30 m/s. Calcolare:

a) la distanza h' dal suolo alla quale si incontrano le due sferette

h-g/2*t^2 = Vo*t-g/2*t^2 

90 = 30*t 

t = 90/30 = 3,00 s 

h' = Voy*t-g/2*t^2 = 30*3-4,9033*3^2 = 45,870 m

h' = 90-4,9033*3^2 = 45,870 m 

b) le loro velocità.

V1 = -g*t = -9,8066*3 = -29,42 m/s (down)

V2 = Voy-g*t = 30-29,42 = 0,58 m/s (up)