[Risolto] Problema di fisica

si deduce, dal valore di Vo,  che g è ipotizzata pari a 9,8 m/s^2  

tup = 39,2*sen 30°/g = 19,6/9,8 = 2,0 s 

Δh = Vo*sin 30°*tup -4,90*tuP^2 = 39,2*0,5*2-4,9*2^2 = 19,6 m 

Top X = h+Δh = 10+19,6 = 29,6 m

Top Y = Vo*cos 30°*tup  = 39,2*1,732 = 67,9 m 

posizione finale (meeting point)

10+39,2*0,5*t-4,9*t^2 = -39,2*0,866*(t-7/(39,2*0,866)) 

10+19,6t-4,9t^2 = -33,95*(t-0,206)

10+53,55t-7-4,9t^2 = 0

4,9t^2-53,55t-3 = 0

t = (53,55+√53,55+19,6*3)/9,8 = 11,0 s 

h = 10+19,6*11-4,9*11^2 = -366 m 

h = -33,95*(11,0-0,206) = -366 m 

Vf = √39,2^2+2*9,8*376 = 94,4 m/s 

di cui Vx = 39,2*0,866 = 33,95 m/s 

@h' = 24,7 m 

24,7 = 10+19,6*t'-4,9*t'^2 

14,7-19,6t'+4,9t'^2 = 0 

t' = (19,6±√19,6^2-19,6*14,7)/9,8 = 3,00 s in fase discendente ; 1,00 s in fase ascendente 

Un punto materiale lanciato dalla posizione Y(0, h) con velocità di modulo V e alzo θ (con V > 0 e θ in [- π/2, π/2]) ha la posizione istantanea P(x, y) data da
* x(t) = V*cos(θ)*t
* y(t) = h + (V*sin(θ) - (g/2)*t)*t
e la velocità istantanea v(t) = (V*cos(θ), vy(t)) data da
* vy(t) = V*sin(θ) - g*t
NOTE
1) Senza il valore locale per l'accelerazione di gravità si deve usare lo standard SI
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
2) La traiettoria percorsa si ricava eliminando il parametro tempo dalle equazioni delle coordinate.
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Nel caso in esame
dai dati
* h = 10 m
* V = |v(0)| = 39.2 = 196/5 m/s
* θ = α = 30°
si ha
* x(t) = (196/5)*cos(30°)*t = (98*√3/5)*t
* y(t) = 10 + ((196/5)*sin(30°) - (g/2)*t)*t = 10 + (98/5 - (g/2)*t)*t
* vx(t) = V*cos(θ) = 98*√3/5
* vy(t) = (196/5)*sin(30°) - g*t = 98/5 - g*t
* |v(t)| = |(98*√3/5, 98/5 - g*t)| = √((5*g*t - 98)^2 + 28812)/5
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e dai dati
* β = 135° = - 45°
* |OA| = 7 m
si ha
* retta in discesa ≡ y = 7 - x
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La traiettoria percorsa si ha da
* (x = (98*√3/5)*t) & (y = 10 + (98/5 - (g/2)*t)*t) ≡
≡ (t = 5*x/(98*√3)) &
& (y = - ((25*g)*(x - 9604*√3/(25*g))^2 - 115248*(125*g + 2401)/(25*g))/57624)
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Risposte ai quesiti (con g = 9.80665 m/s^2)
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a) all'istante T > 0 s'annulla la velocità verticale
* vy(T) = 98/5 - 9.80665*T = 0 ≡ T = 56000/28019
quindi
* x(T) = 1097600*√3/28019 ~= 67.85 m
* y(T) = 828990/28019 ~= 29.59 m
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b) 24.7 = 10 + (98/5 - (9.80665/2)*t)*t ≡
≡ 10 + (98/5 - (9.80665/2)*t)*t - 24.7 = 0 ≡
≡ 28019*t^2 - 112000t + 84000 = 0 ≡
≡ (t = (56000 - 20*√1956010)/28019 ~= 1.000 s) oppure (t = (56000 + 20*√1956010)/28019 ~= 2.997 s)
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c) il generico punto della discesa è (x, 7 - x) ed è un punto della traiettoria se e solo se il tempo di volo è soluzione del sistema
* (y(t) = 7 - x(t)) & (t > 0) ≡
≡ (10 + (98/5 - (9.80665/2)*t)*t = 7 - (98*√3/5)*t) & (t > 0) ≡
≡ (- (196133/40000)*t^2 + (98(√3 + 1)/5)*t + 3 = 0) & (t > 0) ≡
≡ t = espressione che mi rifiuto di dattiloscrivere ~= 10.9765 ~= 11 s
* x(11) = (98*√3/5)*11 ~= 373.43 m
* y(11) = 10 + (98/5 - (9.80665/2)*11)*11 ~= - 367.70 m
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d) |v(11)| = √((5*9.80665*11 - 98)^2 + 28812)/5 ~= 94.6 m/s