[Risolto] Problema di fisica

Tenendo presente che la pallina ha solo velocità orizzontale ($v_y=0$), le equazioni del moto sono:

{$ x = x_0 + v_{0x}t$

{$ y = y_0 + v_{0y}t +1/2 at^2$

che nello specifico diventano:

{$ x = 10t$

{$ y = 5 -4.9t^2$

Il tempo impiegato a cadere al suolo è dunque:

$ 0 = 5 -4.9t^2$ 

$ t = 1.01 s$

La componente orizzontale della velocità nel moto rimane $v_x = 10 m/s$, mentre la componente verticale diventa:

$ v_y = v_{0y} - gt = 0-9.8*1.01 = -9.89 m/s$

Questa componente diminuisce del 20% dunque:

$ v_{y2} = 7.92 m/s$

La massima altezza sarà pertanto:

$ h = \frac{v_{y2}^2}{2g} = \frac{7.92^2}{2*9.8} = 3.2 m$

Noemi

Per tutti gli esercizi di cinematica del punto materiale si comincia dallo scrivere, ma SOPRATTUTTO DAL PENSARE, "punto materiale" al posto di qualsiasi oggetto mobile sia nominato in narrativa. Quindi
«
Un punto materiale, soggetto alla gravità terrestre, si lancia dalla posizione Y(0, h = 5 m) con velocità V = 10 m/s e alzo θ = 0.
L'impatto al suolo provoca un rimbalzo, con le componenti della velocità (vx, vy) che mutano in (4/5)*(vx, - vy).
Si chiede la quota di culmine della traiettoria di rimbalzo.
»
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Una volta che ci si siano chiarite le idee sui risultati richiesti e i dati forniti il secondo passo è la consultazione del libro di testo per ricopiare il modello matematico generale per la categoria cui appartiene il problema dello specifico esercizio (l'hai riconosciuta, spero! La categoria è "moto parabolico sotto gravità".)
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I passi successivi sono:
* particolarizzare il modello generale per lo specifico esercizio;
* manipolare il modello particolare ottenuto per ottenere i risultati richiesti (determinati o indeterminati) o per dimostrarne l'impossibilità;
* esibire risultati e/o dimostrazioni.
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Un punto materiale lanciato dalla posizione Y(0, h) con velocità di modulo V e alzo θ (con V > 0 e θ in [- π/2, π/2]) ha la posizione istantanea P(x, y) data da
* x(t) = V*cos(θ)*t
* y(t) = h + (V*sin(θ) - (g/2)*t)*t
e la velocità istantanea v(t) = (V*cos(θ), vy(t)) data da
* vy(t) = V*sin(θ) - g*t
NOTE
1) Senza il valore locale per l'accelerazione di gravità si deve usare lo standard SI
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
2) La traiettoria percorsa si ricava eliminando il parametro tempo dalle equazioni delle coordinate.
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Prima del rimbalzo
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* x(t) = 10*cos(0)*t = 10*t
* y(t) = 5 + (10*sin(0) - (g/2)*t)*t = 5 - (g/2)*t^2
* vx(t) = 10*cos(0) = 10
* vy(t) = 10*sin(0) - g*t = - g*t
All'istante T > 0 si ha l'impatto al suolo
* (y(T) = 5 - (g/2)*T^2 = 0) & (T > 0) ≡ T = √(10/g)
* x(T) = 10*√(10/g)
* vx(T) = 10
* vy(T) = - g*√(10/g) = - √(10*g)
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Dopo il rimbalzo
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* (4/5)*(vx, - vy) = (4/5)*(10, √(10*g)) = (8, 4*√(2*g/5))
* h = 0
* V = √(8^2 + (4*√(2*g/5))^2) = 4*√(2*(g + 10)/5)
* θ = arctg(4*√(2*g/5)/8) = arctg(√(g/10))
* sin(θ) = sin(arctg(√(g/10))) = √(g/(g + 10))
* cos(θ) = cos(arctg(√(g/10))) = √(10/(g + 10))
* vy(t) = V*sin(θ) - g*t = 4*√(2*g/5) - g*t
* y(t) = h + (V*sin(θ) - (g/2)*t)*t = (4*√(2*g/5) - (g/2)*t)*t
All'istante T > 0 si attinge il culmine
* (vy(T) = 4*√(2*g/5) - g*T = 0) & (T > 0) ≡ T = 4*√(2/(5*g))
* yt(T) = (4*√(2*g/5) - (g/2)*4*√(2/(5*g)))*4*√(2/(5*g)) = 16/5