[Risolto] Problema di fisica

Un pendolo semplice di lunghezza L = 1,0 m con una massa m = 100 g oscilla con ampiezza angolare Θ di 60°. Quale sarà la tensione T sul filo quando il suo scostamento angolare è di 45°?

con Θ = 60°

Δh = L(1-cos 60°) = 1*(1-0,5) = 0,50 m

Ug = m*g*Δh = 0,10*0,5*9,806 = 0,4903 J

con Θ' = 45°

Δh' = L(1-cos 45°) = 1*(1-0,707) = 0,293 m

U'g = m*g*Δh' = 0,10*0,293*9,806 = 0,2873 J

Ek = Ug-U'g = 0,4903-0,2873 = 0,2030 J = m/2*V^2

V^2 = 0,2030/0,05 = 4,060 m^2/sec^2

tensione T = m(g*cos 45°+V^2/L) = 0,10*(9,806*0,707+4,060/1) = 1,10 N 

Se il pendolo è fermo con un angolo teta:

T= mg*cos(teta)

Se il pendolo ha una velocità tangenziale:

T-mg*cos(teta) = m*v²/L

Determino la velocità v nel punto con scostamento angolare teta =45° applicando la conservazione dell'energia meccanica. Scelto tale punto come livello zero di energia potenziale gravitazionale l'energia cinetica è pari all'energia potenziale gravitazionale nel punto più alto raggiunto.

mgL[cos(45) - cos(60)] = (1/2)*m*v²

v² = [2*g*L(cos(45) - cos(60)] = 4,06 m/s

Quindi:

T= mg*cos(45) + m*v²/L = 0,7 + 0,4 = 1,1 N

La tensione Ft è data dalla  forza centripeta + la componente del peso lungo il filo:

Ft = m v^2/L + m g cos(45°);

F centripeta = m v^2 / L;

L = 1,0 m; raggio dell'arco percorso.

ho = L - L cos60° = L * (1 - 0,5) = 0,5 L;

ho = 0,5 m;

Energia iniziale:

Uo = m g ho = m g ho;

a 45° si trova a quota h1 e ha acquistato velocità;

h1 = L * (1 - cos45°) = 1,0 * (1 - 0,707) = 0,293 m;

m g h1 + 1/2 m v^2 = m g ho;

v^2 = 2 g (ho - h1) = 2 * 9,8 * (0,5 - 0,293);

v^2 = 4,057 , (velocità al quadrato);

m = 0,100 kg; 

F centripeta = m v^2 / L = 0,100 * 4,057 / 1,0 = 0,406 N;

m g cos45° = 0,100 * 9,8 * 0,707= 0,693 N

Ft = 0,406 + 0,693 = 1,1 N; (Forza di tensione lungo il filo).

Se il pendolo fosse fermo a 45°, non avesse velocità v, la tensione sarebbe solo 

Ft = m g cos45° .

Ciao @benny23