Problema di dilatazione lineare

Il diametro finale dell'anello, dopo essersi riscaldato di $\Delta T = 70-20 = 50^\circ C= 50 K$ è :

$ \Delta d = d_0 \lambda \Delta T$

dove

$ \lambda_{acciaio}= 1.2 \times 10^{-5} K^{-1}$

(preso da qui https://www.oppo.it/tabelle/coefficienti-dilataz-lineare.html)

dunque:

$\Delta d = 6.35\,cm (1.2 \times 10^{-5}\,K^{-1} \cdot 50\,K) = 0,00381\,cm$

dunque il diametro finale dell'anello (e anche del palo) è:

$ d = d_0 + \Delta d = 6.35381 \,cm$

Ora palo e anello si raffreddano. L'anello cade nel momento in cui il suo diametro è maggiore di quello del palo. Poniamo dunque:

$ d_A > d_P$

e usando le formule di dilatazione:

$ d_{0A}(1+\lambda_A \Delta T_A) = d_{0P}(1+\lambda_P \Delta T_P) $ 

Stiamo supponendo che inizialmente palo e anello abbiano lo stesso diametro, per cui possiamo semplificare $d_{0A}$ e $d_{0P}$

$ 1+\lambda \Delta T_A= 1+\lambda \Delta T_P $

$\lambda \Delta T_A= \lambda \Delta T_P $

il coefficiente di dilatazione dell'ottone (del palo) è:

$ \lambda_{ottone}= 1.9 \times 10^{-5} K^{-1}$

Sapendo che l'anello si trova a $70^\circ=343 K$ mentre il palo a $20^\circ=293$ abbiamo:

$1.2 \times 10^{-5} K^{-1} (T-343) = 1.9 \times 10^{-5} K^{-1} (T-293)$

da cui

$ 1.2 \times 10^{-5} T - 0.004116 = 1.9 \times 10^{-5} T - 0.005567$

$ 0.7\times 10^{-5} T = 0.001451$

$ T = 207 K = -65 C$

Noemi