[Risolto] Problema di Cauchy

@alessandra_12 

Procediamo per separazione di variabili come sicuramente hai fatto

dp/dt = - p(p - 2)

dp/(p(p-2)) = - dt

(A/p + B/(p -2)) = 1/(p(p-2))

Ap - 2A + Bp = 1

da cui il sistema

A + B = 0

-2A = 1

che ha per soluzioni

A = -1/2 e B = 1/2

Riscriviamo quindi

1/2 (-1/p + 1/(p-2)) dp = - dt

- ln |p| + ln |p-2| = - 2t + C

ln |(p-2)/p| = - 2t + C

(2 - p)/p = - 2t + C

con C = (2 - po)/po

2 - p = p C e^(-2t)

p(C e^(-2t) + 1) = 2

p = 2/(1 + (2 - po)/po e^(-2t))

per cui si ha infine

p(t) = 2 po / [ po + (2 - po) e^(-2t) ]

e immagino che sia questo ciò che "avete visto a lezione".

Il testo enuncia tre imperativi (considerare, determinare, ritrovare) cui obbedisco nella stessa successione.
------------------------------
Considerando l'espressione del problema si riconosce un'equazione differenziale di Bernoulli (a variabili separabili, di primo ordine, non lineare; questa è quadratica).
---------------
L'integrale si trova sui manuali e lo si particolarizza con i dati del caso
* (dp/dt = (2 - p)*p) & (p(0) = P) & (P > 0) ≡
≡ p(t) = 2*e^(2*t)/(e^(2*t) - 1 + 2/P)
---------------
"Determinare ... al variare di P" vuol dire "per t costante", quindi equivale a:
esaminare, per un dato valore di k = e^(2*t) l'andamento di y = p(t) al variare di x = P con (k > 0) & (x > 0); e ciò risulta nell'esame di una funzione omografica
* y = 2*k/(k - 1 + 2/x) ≡
≡ y = 2*k*x/((k - 1)*x + 2) ≡
≡ (k - 1)*x*y - 2*k*x + 2*y = 0
il cui andamento, per k = 1 (t = 0), è rettilineo (y = k*x) mentre per k != 1 è quello di un'iperbole equilatera con asse focale parallelo alla bisettrice dei quadranti pari e centro che varia con k.
---------------
Riferimenti
http://mathworld.wolfram.com/BernoulliDifferentialEquation.html
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_omografica
---------------
Qui finisce la risposta ragionevole alle due consegne ragionevoli (considerare, determinare).
------------------------------
"Ritrovare i risultati proposti a lezione"
Questa consegna è irragionevole sia nella forma che nella sostanza.
E' irragionevole nella sostanza perché chi legge questo testo non è tenuto a sapere di che lezione si tratti.
E' irragionevole nella forma perché dà per scontato che affiancando due termini contraddittori si ottenga un significato ragionevole; infatti
* se si tratta di "risultati" essi sono trovati con certezza, non sono "proposti";
* ma, se si afferma che sono "proposti", essi non sono "risultati" bensì mere ipotesi di lavoro.