[Risolto] Problema di Cauchy 2

Ciao @sergix!

Si tratta di un'equazione differenziale di Bernoulli del tipo:

$y' + a(x) y = b(x) y^\alpha$

con $\alpha = 3$.

Per risolverla dividiamo prima di tutto l'equazione per $y^3$:

$ \frac{y'}{y^3} - \frac{tan x}{4}\frac{1}{y^2} = \frac{3sinx}{4}$ 

e consideriamo la sostituzione:

$ t = y^{1-\alpha} = y^{-2} = \frac{1}{y^2}$

da cui

$ t' = \frac{-2y}{y^4} y' = \frac{-2y'}{y^3} \rightarrow \frac{-t'}{2} = \frac{y'}{y^3}$ 

Quindi andando a sostituire otteniamo:

$\frac{-t'}{2} - \frac{tanx}{4} t = \frac{3sinx}{4}$

Abbiamo ottenuto un'equazione lineare. Risistemiamola andando a moltiplicare per $-2$:

$ t' + \frac{tanx}{2} t = -\frac{3sinx}{2}$

Risolviamo calcolando quindi:

$ A(x) = \int a(x) dx = int \frac{tanx}{2} dx = - ln|cosx|$

Nota che dal problema di Cauchy sappiamo che la $x$ è definita in $]-\pi/2, \pi/2[$. Per questi valori il coseno assume segno positivo, dunque possiamo togliere il valore assoluto e lasciare:

$ A(x) = -ln(cosx)$

Passiamo a calcolare il B(x):

$ B(x) = \int b(x) e^{A(x)} dx = \int \frac{3}{4} sinx e^{-ln(cosx)} dx = \int \frac{3}{4} sinx (cosx)^{-1}dx = \frac{3}{4} \int tanx dx = -\frac{3}{4} ln(cosx)$

anche qui con il coseno positivo, quindi senza valore assoluto.

La soluzione in t sarà dunque:

$ t(x) = e^{-A(x)}[B(x) + c]$

$ t(x) = e^{-ln(cosx)}[-\frac{3}{4} ln(cosx) +c]$

$ t(x) = \frac{1}{cosx}[-\frac{3}{4} ln(cosx) +c]$

Ritorniamo in y:

$ \frac{1}{y^2} = \frac{1}{cosx}[-\frac{3}{4} ln(cosx) +c]$

ed esplicitiamo rispetto a y:

$ y(x) = \pm \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{cosx}[-\frac{3}{4} ln(cosx) +c]}}$

Dato che la condizione iniziale $y(0)=1/\sqrt{3}$ ci dà un valore positivo di y, prendiamo la soluzione con segno positivo:

$ y(x) = + \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{cosx}[-\frac{3}{4} ln(cosx) +c]}}$

Andiamo a calcolare la costante arbitraria sostituendo la condizione iniziale:

$ \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{cos0}[-\frac{3}{4} ln(cos0) +c]}}$

$ \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{1}{c}}$

$ c= 3$

Dunque la soluzione del problema di Cauchy è:

$ y(x) = + \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{cosx}[-\frac{3}{4} ln(cosx) +3]}}$

Buona domenica,

Noemi