Determina per quali valori di k le soluzioni dell'equazione (k - 2)x - 2x + 3 = 0, con k=/(diverso)2:
- sono reali e la loro somma è 1;
- sono reali e una è l'antireciproco dell'altra.
Determina per quali valori di k le soluzioni dell'equazione (k - 2)x - 2x + 3 = 0, con k=/(diverso)2:
Suppongo che ci sia una svista nella tua domanda e che in realtà l'equazione fosse:
$(k-2)x^2 -2x +3 = 0$
Vediamo prima di tutto quando le soluzioni sono reali. Calcoliamo il $\Delta$:
$\Delta = b^2 -4ac = 4-4(k-2)(3) = 4-12(k-2) = 4-12k+24 = 28 - 12k$
Affinché le soluzioni siano reali il $\Delta$ dev'essere positivo:
$ \Delta = 28 - 12 k > 0$
$ k < 28/12 = 7/3$
Quindi riterremo accettabili solo le soluzioni in cui $ k < 7/3$.
La somma delle soluzioni di un'equazione $ax^2+bx+c = 0$ è pari a $s = -b/a$.
Chiediamo dunque che la somma sia 1 ponendo:
$1 = -b/a$
$1 = -\frac{-2}{k-2}$
$ k-2 = +2 $
$ k = 4$
Poiché la soluzione trovata per k non è <7/3, non è accettabile e dunque la richiesta è impossibile.
Le soluzioni sono una l'antireciproco dell'altra se:
$ x_1 = -1/x_2$
Il che vuol dire chiedere che:
$ x_2 * x_2 = -1$
Il prodotto delle soluzioni di un'equazione di II grado è pari a: $p= c/a$, pertanto chiediamo che;
$-1 = c/a$
$-1 = \frac{3}{k-2}$
$-k+2 = 3$
$ k = -1$
In questo caso $k=-1 < 7/3$ quindi la soluzione è accettabile.
Noemi