[Risolto] Problema di algebra

Suppongo che ci sia una svista nella tua domanda e che in realtà l'equazione fosse:

$(k-2)x^2 -2x +3 = 0$

Vediamo prima di tutto quando le soluzioni sono reali. Calcoliamo il $\Delta$:

$\Delta = b^2 -4ac = 4-4(k-2)(3) = 4-12(k-2) = 4-12k+24 = 28 - 12k$

Affinché le soluzioni siano reali il $\Delta$ dev'essere positivo:

$ \Delta = 28 - 12 k > 0$ 

$ k < 28/12 = 7/3$

Quindi riterremo accettabili solo le soluzioni in cui $ k < 7/3$.

La somma delle soluzioni di un'equazione $ax^2+bx+c = 0$ è pari a $s = -b/a$.

Chiediamo dunque che la somma sia 1 ponendo:

$1 = -b/a$

$1 = -\frac{-2}{k-2}$ 

$ k-2 = +2 $

$ k = 4$

Poiché la soluzione trovata per k non è <7/3, non è accettabile e dunque la richiesta è impossibile. 

Le soluzioni sono una l'antireciproco dell'altra se: 

$ x_1 = -1/x_2$

Il che vuol dire chiedere che:

$ x_2 * x_2 = -1$

Il prodotto delle soluzioni di un'equazione di II grado è pari a: $p= c/a$, pertanto chiediamo che;

$-1 = c/a$

$-1 = \frac{3}{k-2}$

$-k+2 = 3$

$ k = -1$

In questo caso $k=-1 < 7/3$ quindi la soluzione è accettabile.

Noemi