[Risolto] Problema derivabilità

La funzione, data per distinzione di casi,
* f(x) = h(x) ∨ k(x) ≡
≡ (x < 2) & (x != 0) & (h(x) = y = (x^2 - 4)/(2*x) = x/2 - 2/x)
oppure
≡ (x ≥ 2) & (k(x) = y = x*ln(x - 1))
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e la sua derivata prima
* f(x) = h'(x) ∨ k'(x) ≡
≡ (x < 2) & (x != 0) & (h'(x) = y' = 2/x^2 + 1/2)
oppure
≡ (x ≥ 2) & (k'(x) = y' = x/(x - 1) + ln(x - 1) = 1 + 1/(x - 1) + ln(x - 1))
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dicono che, nell'ascissa di giunzione x = 2, si ha
* h(2) = y = 2/2 - 2/2 = 0
* k(2) = y = 2*ln(2 - 1) = 0
* h'(2) = 2/2^2 + 1/2 = 1
* k'(2) = 1 + 1/(2 - 1) + ln(2 - 1) = 2
quindi (quesito a.) in x = 2 f(x) è continua, ma non derivabile.
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Quesito b.
Il dominio di f(x), in assenza di specificazioni contrarie, è l'intero asse reale x.
Per l'insieme di definizione si deve ragionare un po': h(x) è indefinita per x = 0 e k(x) lo è per x = 1; ma, mentre x = 1 è esclusa dalla distinzione dei due casi, x = 0 è una discontinuità presente in h(x).
L'insieme di definizione reale coincide con l'insieme di definizione: R\{0}.
In ciascuno dei tre rami {x < 0, 0 < x < 2, x > 2} f(x) è continua e derivabile.
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Quesito c.
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All'ascissa x = - 1 si ha
* y = (- 1)/2 - 2/(- 1) = 3/2
* y' = 2/(- 1)^2 + 1/2 = 5/2
quindi la retta tangente è
* y = 3/2 + (5/2)*(x + 1) ≡ 5*x - 2*y + 8 = 0
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All'ascissa x = 2 si ha y = 0.
Per il punto (2, 0) passano tutte e sole le rette:
* x = 2, parallela all'asse y;
* y = 0 + k*(x - 2) ≡ y = k*(x - 2), per ogni pendenza k reale.
Per le due pendenze calcolate sub a),
* h'(2) = 1
* k'(2) = 2
si hanno le tangenti
* y = x - 2
* y = 2*(x - 2)
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Vedi ai link
http://www.wolframalpha.com/input?i=plot%5B%7Bx*y*%28x%5E2-4%29%3D0%2Cy%3Dpiecewise%5B%7B%7Bx%2F2-2%2Fx%2C%28x%3C2%29%26%28x%21%3D0%29%7D%2C%7Bx*ln%28x-1%29%2Cx%E2%89%A52%7D%7D%5D%7D%2C%7Bx%2C-9%2C9%7D%5D
http://www.wolframalpha.com/input?i=plot%5B%7Bx*y*%28x%5E2-4%29*%285*x-2*%28y-4%29%29*%28x-2-y%29*%282*%28x-2%29-y%29%3D0%2Cy%3Dpiecewise%5B%7B%7Bx%2F2-2%2Fx%2C%28x%3C2%29%26%28x%21%3D0%29%7D%2C%7Bx*ln%28x-1%29%2Cx%E2%89%A52%7D%7D%5D%7D%2C%7Bx%2C-9%2C9%7D%5D