Problema da risolvere con le equazioni di secondo grado.

Guarda il disegno per capire meglio il procedimento:

Sappiamo che il triangolo è isoscele, quindi $\overline{AP}+ \overline{PC}= \overline{BM}+\overline{MC}= \ell$, quindi $\overline{CM}=\ell -13cm$, $\overline{PC} = \ell - 4cm$.

Dalla relazione nel testo quindi sappiamo che:

$(\ell -4cm)4cm=(\ell-13cm)\ell$

$4cm\ell -16cm^2 = \ell^2-13cm\ell$

$\ell^2-17cm\ell+16cm^2=0$

Questo è anche un trinomio caratteristico, quindi non è necessaria un'equazione di secondo grado;

$(\ell-16cm)(\ell-1cm)=0$

Naturalmente $\ell > 13cm$, quindi $\ell=16$.

A questo punto $\overline{CM} = \ell-13cm = 3cm$

guarda il triangolo rettangolo $PCM$, è simile al triangolo rettangolo $ACD$, in quanto $\overline{AD} \parallel \overline{PM}$, dato che il primo è l'altezza relativa al lato $\overline{BC}$, allora calcoliamo il rapporto di similitudine tramite le ipotenuse che sono note: $k=\frac{16cm}{4cm}=4$, quindi $\overline{CD} = \overline{CM} \cdot 4 = 3cm \cdot 4 = 12cm$, quindi calcoliamo l'altezza con il teorema di Pitagora:

$\overline{AD} = \sqrt{\ell^2-\overline{CD}^2}=\sqrt{256cm^2-144cm^2}= \sqrt{112cm^2}$

Scomponiamo $112$ in fattori primi: $112 = 7 \cdot 2^4$, quindi $\sqrt{112} = \sqrt{7} \cdot 2^2 = 4\sqrt{7}$

In definitiva l'area del triangolo è quindi $A=\frac{1}{2} bh = \frac{1}{2} 16cm \cdot 4 \sqrt{7} cm = 8 cm \cdot 4\sqrt{7} cm = 32\sqrt{7} cm^2$.