In un rettangolo $A B C D$ il lato $A B$ è $\frac{3}{4}$ di $B C$. Inoltre vale la relazione:
$$
\frac{1}{4 \overline{A B}+3}+\frac{5}{4 \overline{B D}+5}=\frac{16}{15 \overline{A D}}
$$
Determina perimetro e area del rettangolo.
$$
\left[\text { Perimetro }=14 cm ; \text { Area }=12 cm ^2\right]
$$
15
punti
Livello 0
Considerando che $ABCD$ è un rettangolo, si deduce che:
$AB=DC$
$AD=BC$
$BD=√AB^2+AD^2$
Dati
$AB=3/4BC$
$1/(4AB+3)+5/(4BD+5)=16/15AD$
si sostituiscano tutti i termini in funzione di $BC$ con i dati precedentemente annunciati:
$1/(4(3/3BC)+3)+5/(4(√AB^2+AD^2)+5)=16/15BC$
$1/(3BC+3)+5/(4(√9/16BC^2+BC^2)+5)=16/15BC$
$1/(3BC+3)+5/(4(5/4BC)+5$=16/15BC$
$1/(3BC+3)+5/(5BC+5)=16/15BC$
$1/(3(BC+1))+5/(5(BC+1))-16/15BC=0$
con $BC≠-1$ e $BC≠0$
$1/(3(BC+1))+1/(BC+1)-16/15BC=0$
$5BC+15BC-16(BC+1)/(15BC(BC+1))=0$
$4BC-16/(15BC(BC+1))=0$
$4BC-16=0$
$BC=4$
$AB=3/4*4$
$AB=3$
perimetro: $(3*2)+(4*2)=6+8=14$
area: $4*3=12$
6717
punti
Livello 6
AB = x
BC = y = 4/3 x
BD^2 = x^2 + y^2 = x^2 + 16/9 x^2 = 25/9 x^2 => BD = 5/3 x
AD = BC = 4/3 x
x > 0
1/(4x + 3) + 1/(4/3 x + 1) = 16/(15*4/3 x)
(1 + 3)/(4x + 3) = 4/(5x)
4x + 3 = 5
x = 3
P = 2x + 8/3 x = 14/3 x = 14/3 * 3 cm = 14 cm
S = x*4/3 x = 4/3 * 9 cm^2 = 12 cm^2
47920
punti
Livello 7
