Una pattinatrice per prepararsi a eseguire una trottola percorre, dall'esterno verso l'interno, una traiettoria come quella mostrata in figura.
- Scrivi in coordinate polari l'equazione della curva.
- Di quanto si avvicina la pattinatrice al punto in cui eseguirà la trottola (posto nell'origine del sistema di riferimento) ogni volta che completa un giro? (Le misure del grafico sono espresse in metri.
1
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Livello 0
Si tratta di una spirale a passo costante o di Archimede.
L'equazione in coordinate polari è ρ=aθ
dai valori presenti sull'asse polare segue che a = 3-3/2 = 3/2.
Verifichiamo che valga anche per le altre misure
quindi l'equazione cercata risulta essere ρ = (3/2)*θ
L'avvicinamento ad ogni giro rispetto all'origine è pari alla costante a cioè
a = 3/2.
6084
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Livello 2
l'equazione della curva é r = 3 + 3/(4pi) * teta
perché quando l'angolo diminuisce di pi/2 ( percorso in senso orario )
r diminuisce di 3/8 --- di conseguenza in 1 giro (2pi) l'avvicinamento é
| 3/2 - 3 | = 3/2 e infatti in due giri il percorso é completato.
Buon sabato.
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Livello 7
Si tratta di una spirale di Archimede perché presenta un passo costante
* p = 15/8 - 3/8 = 9/4 - 3/4 = 21/8 - 9/8 = 3 - 3/2 = 3/2 m
simile, in iscala 1 : 100, a quella che si ottiene facendo un rotolo piatto con una fune da 15 mm di diametro.
Quindi l'equazione richiesta ha la forma, lineare in θ,
* r(θ) = k*θ + R
dove
* r(0) = R
* r(π) = k*π + R = 3/4
* r(2*π) = k*2*π + R = 3/2
cioè
* (k*π + R = 3/4) & (k*2*π + R = 3/2) ≡ (k = 3/(4*π)) & (R = 0)
da cui
* r(θ) = 3*θ/(4*π)
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Genius I
