Il teorema delle secanti
E' data una circonferenza di centro O e raggio 5 cm. Un punto P dista 9 cm dal centro O . Una secante uscente da P incontra la circonferenza in due punti tali che la parte esterna della secante è sette volte la corda avente come estremi quei punti. Determina la lunghema di tale corda e la sua distanza dal centro
L'ultimo risultato dovrebbe essere 3/2√11. Potreste spiegarmene il motivo?
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Livello 1
Teorema delle secanti : condotte da un punto esterno ad una circonferenza due secanti, un'intera secante e la sua parte esterna formeranno i medi, e l'altra intera secante e la sua parte esterna gli estremi di una proporzione.
Chiamata quindi la corda AB (A punto più vicino a P) e l'altra secante ( passante per O) PC, avremo :
PCPO
PC=PO+r=9+5=14 cm
AB=x , PA=7x , PB=8x
sostituisci nella proporzione :
149
In una proporzione il prodotto dei medi è = al prodotto degli estremi :
14*9=7*8 x^2 , x^2 = 9/4 , x=3/2
Per la distanza dal centro, che chiamo OH, devi ricordare che la perpendicolare ad una corda passante per il centro la dimezza, quindi AH=HB=3/4
A questo punto non ti resta che applicare Pitagora al triangolo rettangolo POH , ed avrai :
OH=radquadrata(PO^2-HP^2)
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Livello 2
PH² = 7+1/2 = 15/2
per cui
√(9²+(15/2)²) = 3√11 /2.
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Livello 3
Ciao. Il teorema delle secanti dice quanto espresso nella figura allegata. Quindi consideriamo come seconda corda il diametro AB per cui la retta AB passa per P.
La proporzione che è da fare è quindi: (10 + 4):(8·x) = 7·x:4
da cui: 56·x^2 = 14·4----->x = -1 ∨ x = 1 la negativa si scarta per cui la corda non diametro
vale x=1.
Con Pitagora risolvo la distanza di tale corda dal centro della circonferenza:
√(5^2 - (1/2)^2) = 3·√11/2 cm
Ciao
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Genius II
