Un trapezio rettangolo ha la base minore lunga $14 \mathrm{~cm}$ e il perimetro di $88 \mathrm{~cm}$. Sapendo che l'altezza supera di $5 \mathrm{~cm}$ la differenza delle basi, calcola l'area del trapezio.
Ho provato sia con equazione 2 grado che con sistema di equazioni e non mi esce il risultato che deve essere 430 cm^2.
Grazie.
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Livello 1
Ripasso
L'area S del trapezio di basi a > b > 0 e di altezza h > 0 è il prodotto dell'altezza per la media delle basi
* S = h*(a + b)/2
Se il trapezio è rettangolo allora l'unico lato obliquo L è ipotenusa del triangolo rettangolo che ha per cateti l'altezza e la differenza delle basi
* L^2 = h^2 + (a - b)^2
e il perimetro p risulta
* p = a + b + h + L = a + b + h + √(h^2 + (a - b)^2)
Esercizio 4
Misure in cm, cm^2.
Dai dati
* b = 14
* p = 88
* h = (a - b) + 5 ≡ a - 14 = h - 5 ≡ a = h + 9
si ha
* L^2 = ((a - b) + 5)^2 + (a - b)^2 ≡
≡ L = √(2*(a - 14)^2 + 5*(2*(a - 14) + 5))
* p = a + b + h + L =
= a + b + (a - b) + 5 + √(2*(a - 14)^2 + 5*(2*(a - 14) + 5)) =
= a + 14 + (a - 14) + 5 + √(2*(a - 14)^2 + 5*(2*(a - 14) + 5)) = 88 ≡
≡ √(2*(a - 14)^2 + 5*(2*(a - 14) + 5)) = 88 - (2*a + 5) ≡
≡ 2*(a - 14)^2 + 5*(2*(a - 14) + 5) - (88 - (2*a + 5))^2 = 0 ≡
≡ a^2 - 143*a + 3306 = 0
da cui
* (a^2 - 143*a + 3306 = 0) & (14 < a < 88) ≡
≡ ((a = 29) oppure (a = 114)) & (14 < a < 88) ≡
≡ a = 29
* h = (a - b) + 5 = (29 - 14) + 5 = 20
* S = 20*(29 + 14)/2 = 430
che è proprio il risultato atteso.
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Genius I
x = base maggiore
b = 14 cm base minore
h = x - 14 + 5 = x - 9 altezza trapezio
Lato obliquo=88 - (14 + x + (x - 9)) = 83 - 2·x
Per Pitagora:
√((x - 14)^2 + (x - 9)^2) = 83 - 2·x
Risolvo ed ottengo: x = 29 cm
h = 29 - 9 = 20 cm
Α = 1/2·(14 + 29)·20 = 430 cm^2
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Genius II
@lucianop Ok, grazie Luciano per l aiuto. Ho provato parecchie volte a risolvere l equazione con T. Pitagora. Mi è uscito x = 29 solo quando ho risolto senza √.
