[Risolto] Problema con piano inclinato e carrucola

Le forze che agiscono nel sistema sono:

- Per il blocco $m_1$ la forza peso, da scomporre nelle componenti $P_{//}$ e $P_{\perp}$, la forza di attrito $F_a$ la tensione del filo $T$ e la reazione vincolare $N$.

- Per il blocco $m_2$ la forza peso $P_2$ e la tensione del filo $T$.

Consideriamo tutte le forze che agiscono nella direzione del moto, prendendo come segno positivo quello delle forze orientate verso sinistro (immagino che il blocco $m_2$ scenda, trascinandosi $m_1$). La somma delle forze è:

$ P - T + T - P_{//} - F_a = m_{tot } a$

Quindi sostituendo le formule e semplificando la tensione:

$ m_2g  - m_1gsin\theta - (m_1gcos\theta)\mu_D = (m_1+m_2) a$

$ 10kg*9.81 m/s^2 - 10kg*9.81 m/s^2 sin(30) - 10kg*9.81m/s^2cos(30)*0.2 = (10kg+10kg) a$

$98.1 N - 49 N - 17 N = 20kg * a$

$ a = 1.6 m/s^2$

L'accelerazione è la stessa per le due masse. Il segno positivo conferma che la massa 2 sta scendendo, quindi i corpi si muovono verso sinistra.

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Per calcolare la tensione, concentriamoci sul solo corpo 2, su cui agiscono solo forza peso e tensione:

$ P - T = m_2 a$

$ m_2g - T = m_2 a$

$ 98.1 N - T = 10kg*1.6 m/s^2$

$ T = 98.1 N - 16 N = 82.1 N$

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Chiaramente se $m_2$ si sposta di 2m, anche $m_1$ fa lo stesso spostamento. Calcoliamo la velocità finale dalla formula:

$ s = \frac{v_f^2 - v_i^2}{2a} = \frac{v_f^2}{2a}$

dove $v_i=0$ perché i corpi inizialmente sono fermi, quindi:

$ v_f = \sqrt{2a*s} = \sqrt{2*1.6m/s^2*2m} = 2.5 m/s$

Noemi

In assenza di dati , il sistema potrebbe :

# essere in equilibrio in due condizioni limite differenti( vale a dire con m2 in procinto di scendere o salire)

# vedere m2 scendere (ed m1 salire)

# vedere m2 salire (ed m1 scendere) 

l'uguaglianza delle masse, unita al basso coefficiente di attrito μ ed al modesto angolo Θ fanno presagire un moto di m2 verso il basso ; i calcoli a seguire diranno se questa sensazione è veritiera 

Forza di attrito Fa tra m1 e piano inclinato :

Fa = m1*g*μ*cos Θ = 10*9,806*0,2*0,866 = 98,06*0,1732 = 17,0 N

forza gravitazionale F1g che agisce su m1 = m1*g*sin Θ = 98,06/2 = 49,0 N 

forza gravitazionale F2g che agisce su m2 = m2*g*sin 90° = 98,1 N  > (17+49)

1 Quanto vale il modulo della accelerazione della massa m1?

accelerazione a = F2g-(Fa+F1g)/(m1+m2) = (98,1-66)/20 = 1,605 m/sec^2 e vale per entrambe le masse

2 Quanto vale la tensione T del filo che collega la massa m2, alla carrucola ?

T = m2(g-a) = 10*(9,806-1,605) = 82,0 N 

3 Dopo che il blocco m2 si sarà spostato di una altezza pari a s = 2m, la velocità V che avrà raggiunto il blocco m1 quanto varrà?

V = √2as = √1,605*2*2 = 2,53 m/sec  ed è la stessa per m1 ed m2