[Risolto] Problema con le parabole.

In generale, per le parabole con asse di simmetria che interseca entrambi gli assi coordinati, i calcoli da fare sono un bel po'.
Per le parabole con asse di simmetria parallelo a un asse coordinato, p.es. all'asse x, c'è una procedura di calcolo piuttosto semplice che si basa su poche relazioni.
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A) Completamento del quadrato dei termini variabili, che conduce a individuare:
A1) l'apertura (a != 0) della parabola e quindi l'orientamento della concavità;
A2) le coordinate del vertice e quindi l'asse di simmetria.
* y = a*(x - xV)^2 + yV
* x = a*(y - yV)^2 + xV
NEL TUO CASO
* y^2 - 2*y = (y - 1)^2 - 1
e sostituendo si ha
* x = y^2 - 2*y + 3 ≡ x = (y - 1)^2 + 2
da cui
* apertura a = + 1 > 0, quindi concavità rivolta verso x > 0;
* vertice V(2, 1)
* asse di simmetria y = 1
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B) Calcolo della distanza focale "f" in funzione dell'apertura e conseguente localizzazione di fuoco "F" e direttrice "d" a distanza f da V.
* f = |VF| = |Vd| = 1/(4*|a|)
NEL TUO CASO
* distanza focale f = |VF| = |Vd| = 1/(4*|+ 1|) = 1/4
* fuoco F(xV + 1/(4*a), yV) = (9/4, 1)
* direttrice d ≡ x = xV - 1/(4*a) ≡ x = 7/4
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CONTROPROVA nel paragrafo "Properties" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plane+curve+x%3Dy%5E2-2*y%2B3

esattamente come fai per quelle con asse parallelo all'asse y, basta scambiare le variabili 😉