[Risolto] PROBLEMA con le disequazioni irrazionali

ΒC = y ≤ 1/2·ΑΒ

ΑΗ = x

ΟΗ = x - 1

Th Pitagora applicato al triangolo rettangolo OHB:

(y/2)^2 + (x - 1)^2 = 1

Th Pitagora applicato al triangolo AHB:

√(x^2 + (y/2)^2) = ΑΒ

Quindi:

y ≤ 1/2·√(x^2 + (y/2)^2)

ora:

(y/2)^2 = 1 - (x - 1)^2---> (y/2)^2 = 2·x - x^2

risolta rispetto ad y fornisce:

y = - 2·√(x·(2 - x)) ∨ y = 2·√(x·(2 - x))

si scarta la prima

y = 2·√(x·(2 - x))

2·√(x·(2 - x)) ≤ 1/2·√(x^2 + 2·x - x^2)

Risolta (ci pensi tu) fornisce:

15/8 ≤ x < 2

Detta x l'altezza ed essendo  x il triangolo non degenere, risulterà 0 < x < 2r =>  0 < x < 2.

Per il Teorema di Pitagora su AOH (AB é la base, O il centro, H il piede dekk'altezza)

(b/2)^2 + (x - 1)^2 = 1^2

(b/2)^2 = 1 - x^2 + 2x - 1 = 2x - x^2

mentre L^2 = x^2 + (b/2)^2 = x^2 + 2x - x^2 = 2x      (su ACH )

Si deduce quindi che b = 2 rad (2x - x^2), che L = rad(2x) e che 0 < x < 2

Pertanto la risolvente é

2 rad (2x - x^2) <= 1/2 rad (2x)

4 rad (2x - x^2) <= rad (2x)   con 0 < x < 2.

Quadrando

16 (2x - x^2) <= 2x      con 0 < x < 2

32x - 2x - 16x^2 <= 0    con 0 < x < 2

e poiché x é positivo, si può dividere per 2x ottenendo una disequazione

equivalente ed equiversa che é

15 - 8x <= 0    con 0 < x < 2

x >= 15/8       con 0 < x < 2

e infine 15/8 <= x < 2.

La mia "una mano" è trucchetto valido in tutti i casi in cui non si riesce a risolvere uno specifico problema: trascurare le specificità e affrontare la generalizzazione del problema, spesso più semplice da comprendere; poi, risolto il caso generale, applicare la soluzione al caso specifico.
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Per questo esercizio la situazione da studiare è la relazione fra lato di base e lato di gamba di un triangolo isoscele in funzione dell'altezza relativa alla base (variabile del problema) assunto il circumraggio come unità di lunghezza.
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Nel triangolo isoscele di base b > 0 e lato obliquo L > 0 si ha
* altezza h = √(L^2 - (b/2)^2) = √(4*L^2 - b^2)/2 > 0
* perimetro p = b + 2*L
* area S = b*h/2 = b*√(4*L^2 - b^2)/4
* circumraggio R = b*L^2/(4*S) = L^2/√(4*L^2 - b^2)
"inscritto in una circonferenza di raggio 1" ≡
≡ L^2/√(4*L^2 - b^2) = 1 ≡
≡ (b = L*√(4 - L^2)) & (0 < L < 2)
da cui
* h = x = √(4*L^2 - (L*√(4 - L^2))^2)/2 = L^2/2 < 2
quindi
* L = √(2*x) < 2
* b = √(2*x)*√(4 - 2*x) = 2*√((2 - x)*x) < 2
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Applicare la soluzione al caso specifico
"la misura della base è minore o uguale alla metà della misura di un lato obliquo" ≡
≡ b <= L/2 ≡
≡ 2*√((2 - x)*x) <= √(2*x) ≡
≡ 4*(2 - x)*x <= 2*x ≡
≡ 4*(2 - x)*x - 2*x <= 0 ≡
≡ 3*x - 2*x^2 <= 0 ≡
≡ (x = 0) oppure (3/2 < x < 2) ≡
≡ 3/2 < x < 2
che non s'accorda col risultato atteso, 15/8 <= x < 2.
Verifica
Per x = 27/16, valor medio fra i due estremi inferiori, si ha
* 2*√((2 - 27/16)*27/16) <= √(2*27/16) ≡
≡ 3*√15/8 <= 3*√6/4 ≡
≡ √15 <= 2*√6 ≡
≡ Vero
Il risultato atteso è errato.