[Risolto] Problema con lavoro ed energia

Il teorema dell'energia cinetica afferma che la variazione $ \delta K $ dell'energia cinetica è uguale al lavoro totale Wtot compiuto su di esso:

$  ΔK= Kb-Ka = Wtot $ Dove Kb è energia cinetica finale e Ka energia cineta iniziale

In questo problema l'automobile si arresta cioè si ferma dopo aver frenato quindi l'energia cinetica finale è uguale a 0, vediamo come cambia allora:

$ ΔK= 0-Ka = Wtot  ->  Wtot = -Ka $

Calcoliamo quindi l'energia cinetica iniziale

K = 1/2*m*v ---> 1/2*1250*(70/3,6) = 1,2*10^4 J

Il lavoro si calcola con:

W = F*Δs

W = -K ---> W = -1,2*10^4 per teorema dell'energia cinetica

F*Δs = -1,2*10^4 ---> F = -1,2*10^4/40 = -300 N

Otteniamo lo spazio di frenata data un'altra velocità

L'energia cinetica cambia

K = 1/2*1250*(120/3,6) = 2,1*10^4 J

W = F*Δs ---> -2,1*10^4 = -300*Δs ---> Δs = -2,1*10^4/-300 = 70 m

Per determinare il modulo della forza frenante \( F_f \), possiamo utilizzare la legge fondamentale della dinamica, che ci dice che la forza netta è uguale al prodotto della massa per l'accelerazione:

\[ F_f = m \times a \]

Dove \( m \) è la massa dell'automobile (1250 kg) e \( a \) è l'accelerazione durante la frenata.

Possiamo utilizzare l'equazione del moto uniformemente accelerato per calcolare \( a \) utilizzando i dati forniti:

\[ \Delta s = \frac{{v_f^2 - v_i^2}}{{2a}} \]

Dove:
- \( \Delta s \) è lo spazio di frenata (40m),
- \( v_i \) è la velocità iniziale (70 km/h),
- \( v_f \) è la velocità finale (0, poiché l'automobilista si ferma).

Prima convertiamo le velocità da km/h a m/s:

\[ v_i = 70 \, km/h \times \frac{{1000 \, m}}{{3600 \, s}} = 19.44 \, m/s \]

Ora possiamo risolvere per \( a \):

\[ 40 = \frac{{0 - (19.44)^2}}{{2a}} \]

\[ a = \frac{{-(19.44)^2}}{{2 \times 40}} \]

\[ a \approx -4.76 \, m/s^2 \]

Ora possiamo calcolare \( F_f \):

\[ F_f = m \times a = 1250 \, kg \times -4.76 \, m/s^2 \]

\[ F_f \approx -5950 \, N \]

Quindi, il modulo della forza frenante è circa \( 5950 \, N \).

Per la seconda parte della domanda, possiamo utilizzare lo stesso valore di \( F_f \) e l'equazione del moto uniformemente accelerato per calcolare lo spazio di frenata per una velocità iniziale di \( v_i = 120 \, km/h \):

\[ v_i = 120 \, km/h \times \frac{{1000 \, m}}{{3600 \, s}} = 33.33 \, m/s \]

Ora possiamo risolvere per lo spazio di frenata \( \Delta s \):

\[ \Delta s = \frac{{0 - (33.33)^2}}{{2 \times -4.76}} \]

\[ \Delta s \approx 69.84 \, m \]

Quindi, con la stessa forza frenante, lo spazio di frenata per una velocità iniziale di \( 120 \, km/h \) è di circa \( 69.84 \, m \).

Un automobilista che viaggia ad una velocità costante di modulo Vo = 70 km/h vede un ostacolo e frena bruscamente l'automobile di massa  m = 1250 kg in uno  spazio  d pari a 40 m. Determinare il modulo della forza frenante Ff. Determinare, con la stessa forza frenante di attrito, quale diventa lo spazio di frenata d' per una velocità iniziale di modulo V'o = 120km/h

m*Vo^2 = 2*d*Ff

forza frenante Ff = 1,250*70^2/(3,6^2*80) = 5,908 kN

d' = d*(V'o/Vo)^2 = 40*144/49 = 117,6 m