Determina le misure dei lati di un trapezio isoscele ABCD, il cui perimetro misura 19/4r, inscritto in una circonferenza di raggio r e diametro AB.
Determina le misure dei lati di un trapezio isoscele ABCD, il cui perimetro misura 19/4r, inscritto in una circonferenza di raggio r e diametro AB.
La figura si riferisce ad r=1
AB=2r
BC=AD=1/2r
CD=7/4r
Verifica:
2·r + 2·(1/2·r) + 7/4·r = 19·r/4
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ΑΒ = 2·r
ΒC = y
y^2 = 2·r·(2·r - x)/2 : 1° teorema di Euclide
y^2 = r·(2·r - x) = 2·r^2 - r·x
quindi, con y>0: y = √(2·r^2 - r·x)
Da cui:
19/4·r = 2·r + 2·y + x
2·y = 19/4·r - 2·r - x---> y = (11·r - 4·x)/8
√(2·r^2 - r·x) = (11·r - 4·x)/8
r·(2·r - x) = (4·x - 11·r)^2/64
Risolvo equazione ed ottengo:
x = 7·r/4 ∨ x = - r/4
La negativa la scarto
y = (11·r - 4·(7·r/4))/8---> y = r/2
Il perimetro è r * 19/4 ???
La base maggiore è 2r, corrisponde al diametro;
i lati obliqui sono congruenti;
ADB = triangolo rettangolo;
primo teorema di Euclide: il cateto AD è medio proporzionale tra la sua proiezione sull'ipotenusa e l'ipotenusa
AB : AD = AD : AH ;
AD = lato obliquo del trapezio;
AD^2 = AB * AH ;
(AH = KB);
AB = 2r ;
AH = (AB - DC) / 2;
AD^2 = AB * AH ;
x = base minore DC;
AH = (AB - x) / 2;
AH = (2r - x) / 2
AD^2 = 2r * (2r - x)/ 2 = (4 r^2 - 2rx) /2 = 2 r^2 - rx
AD = radicequadrata(2 r^2 - rx); LATO OBLIQUO;
Perimetro = AB + DC + 2 AD = 19 r / 4;
2r + x + 2 * [ radicequadrata(2 r^2 - rx)] = 19r / 4;
2 * [ radicequadrata(2 r^2 - rx)] = 19 r / 4 - 2r - x;
[ radicequadrata(2 r^2 - rx)] = 19 r / 8 - 8r/8 - x/2;
[ radicequadrata(2 r^2 - rx)] = 11 r / 8 - x/2; eleviamo al quadrato;
2 r^2 - rx = 121 r^2/64 - x^2 /4 - 11rx/8 ;
2 r^2 - 121r^2 / 64 - x^2 /4 + 11 rx /8 - rx = 0
(128 - 121)r^2 / 64 - x^2 /4 + 11rx/8 - 8 rx / 8 = 0
7 r^2/64 - x^2/4 + 3 rx / 8 = 0
7 r^2 / 16 - x^2 + 3 rx / 2 = 0
7 r^2 - 16 x^2 + 24 rx = 0
16 x^2 - 24 rx - 7 r^2 = 0;
x = [+ 12 r +- radice quadrata(144r^2 + 112 r^2)]/16;
x = [12 r +- radice(256r^2)] / 16;
x = [12r + 16r]/ 16; soluzione positiva;
x = 28 r/16 = 7r/4; base minore;
AD = radicequadrata(2 r^2 - rx);
AD = radice(2 r^2 - 7 r^2/4) = radice[(8 r^2 - 7r^2)]/4;
AD = radice(r^2/4) = r/2; lato obliquo.
AB = 2r;
DC = 7/4 r;
AD = r/2.
Ciao @eli-sokoli