[Risolto] Problema con disequazione

Le parti coltivabili hanno lati di 12 - 2x (lato lungo) base;

2x lato corto; altezza ; non può superare i 5 m del giardino.

Area1 = (12 - 2x) * 2x = 24 x - 4x^2

Sono due rettangoli, le due altezze 2x + 2x = 4x non devono superare 5 m;

4x < 5 ; x < 5/4;  x < 1,25 m

Area coltivabile: 2 * A1; compresa fra 22 m^2 e 40 m^2

2 * (24 x - 4x^2) > 22 m^2;  (1)

2 * (24x - 4x^2) < 40 m^2;   (2)

Risolviamo la (2); dividiamo per 2;

24x - 4x^2 < 20;  (2)

ancora diviso 4;

6 x - x^2 - 5 < 0; cambiamo segno:

x^2 - 6x + 5 > 0;

x^2 - 6x + 5 = 0;

x = 3 +- radice(9 - 5) = 3 +- 2;

x1 = 3 + 2 = 5 m; da scartare;   (x deve essere < 1,25 m).

x2 = 3 - 2 = 1 m;

con x = 1 m l'area coltivabile è 40 m^2;

2 * (24x - 4x^2) = 2 * (24 * 1 - 4) = 2 * 20 = 40 m^2; area massima;

quindi x < 1 m;

Risolviamo la (1); dividiamo per 2;

2 * (24 x - 4x^2) > 22 m^2;

24 x - 4x^2 > 11;

24 x - 4x^2 - 11 > 0;

4x^2 - 24x + 11 = 0;

x = [12 +-radice(12^2 - 11 * 4)] / 4;

x = [12 +- radice(144 - 44)] / 4;

x = [12 +- 10] / 4;

x1 = 22/4 = 5,5 m; da scartare;

x2 = 2/4 = 0,5 m; 

x > 0,5 m; area coltivabile  > 22 m^2;

2 * (24 x - 4x^2) = 2 * (24 * 0,5 - 4 * 0,25);

Area = 2 * (12 - 1) = 2 * 11 = 22 m^2; (area minima)

0,5 < x < 1.

Ciao @beppe

Deve essere:

22 < 2·((12 - 2·x)·2·x) < 40

quindi:

22 < 48·x - 8·x^2 < 40

Equivalente ad un sistema:

{22 < 48·x - 8·x^2

{48·x - 8·x^2 < 40

Che ammette soluzione:

{1/2 < x < 11/2

{x < 1 ∨ x > 5

Risolto fornisce:

[1/2 < x < 1 , 5 < x < 11/2]

L'ultima soluzione si scarta perché incompatibile con le dimensioni reali per cui deve essere:

4·x < 5-------> x < 1.25

SPIEGAZIONE PASSAGGIO PER PASSAGGIO
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A) Osservazione della figura (misure in m, m^2).
Sul lato da 12, due sentieri larghi x e lunghi 5.
Sul lato da 5, un sentiero largo 5 - 4*x e lungo 12 - 2*x.
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B) Condizioni restrittive poste dal significato di sentiero.
* (0 < x < 12 - x) & (0 < 5 - 4*x < 5) & (0 < 12 - 2*x < 12) ≡ (0 < x < 5/4)
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C) Aree
* giardino: g = 5*12 = 60
* sentieri: s = 2*(x*5) + (5 - 4*x)*(12 - 2*x) = 8*x^2 - 48*x + 60
* coltivata: c = g - s = 48*x - 8*x^2
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D) Condizioni restrittive poste dal testo.
* 22 <= c <= 40 ≡
≡ 22 <= 48*x - 8*x^2 <= 40 ≡
≡ 11 <= 24*x - 4*x^2 <= 20
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E) Sistema risolutivo.
* (11 <= 24*x - 4*x^2) & (24*x - 4*x^2 <= 20) & (0 < x < 5/4) ≡
≡ (1/2 <= x <= 11/2) & ((x <= 1) oppure (x >= 5)) & (0 < x < 5/4) ≡
≡ (1/2 <= x <= 11/2) & (0 < x < 5/4) & ((x <= 1) oppure (x >= 5)) ≡
≡ (1/2 <= x < 5/4) & ((x <= 1) oppure (x >= 5)) ≡
≡ (1/2 <= x < 5/4) & (x <= 1) oppure (1/2 <= x < 5/4) & (x >= 5) ≡
≡ (1/2 <= x <= 1) oppure (insieme vuoto) ≡
≡ 1/2 <= x <= 1
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F) RISULTATO
Si soddisfà alla consegna «affinché l'area coltivata sia compresa tra 22 m^2 e 40 m^2» con la risposta
* 1/2 <= x <= 1
dove le diseguaglianze sono lasche; il risultato atteso ("Risposta : 1/2 minore di x minore di 1"), con le diseguaglianze strette, è ERRATO in quanto risponderebbe all'inesistente consegna «affinché l'area coltivata sia STRETTAMENTE compresa tra 22 m^2 e 40 m^2» che, oltre a non essere nel testo, sarebbe anche priva di significato nel contesto da modellare.

4x*(12-2x) = 22

48x-8x^2 = 22

22+8x^2-48x = 0 

11+4x^2-24x = 0

x = (24±√24^2-11*4*4)/8 = (24 ± 20) /8  = 0,5 ; 11/2 (11/2 > 5 non accettabile) 

4x*(12-2x) = 40

48x-8x^2 = 40

40+8x^2-48x = 0 

20+4x^2-24x = 0

x = (24±√24^2-20*4*4)/8 = (24 ± 16) /8  = 1 ; 5  (5 non accettabile) 

0,5 ≤  x  ≤ 1