Problema combinatorie

Abbiamo un mazzo di 32 carte, diviso equamente in 4 semi (cuori, quadri, fiori, picche). Ci vengono chieste diverse combinazioni di 5 carte estratte da questo mazzo.

Soluzione:

Per risolvere questo tipo di problemi, utilizziamo le combinazioni. La formula generale per calcolare le combinazioni di k elementi scelti da un insieme di n elementi è:

C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

Dove:

* n! (n fattoriale) è il prodotto di tutti i numeri interi positivi da n a 1.

* k! (k fattoriale) è il prodotto di tutti i numeri interi positivi da k a 1.

Risolviamo i singoli punti:

a) Nessun asso:

* Abbiamo 28 carte non-asso (7 per seme).

* C(28, 5) = 98.280 combinazioni.

b) Esattamente 2 donne:

* Scegliamo 2 donne dalle 4 totali: C(4, 2) = 6.

* Scegliamo le restanti 3 carte dalle 28 non-donne: C(28, 3) = 3276.

* Moltiplichiamo le due combinazioni: 6 * 3276 = 19.656.

c) Almeno 3 fanti:

* Calcoliamo separatamente le combinazioni con 3 fanti e 4 fanti, poi sommiamo.

   * 3 fanti e 2 altre carte: C(4, 3) * C(28, 2) = 1568.

   * 4 fanti (tutti) e 1 altra carta: C(4, 4) * C(28, 1) = 28.

   * Totale: 1568 + 28 = 1596.

d) 2 carte di picche e 3 di cuori:

* C(8, 2) * C(8, 3) = 1568.

e) 2 carte di un colore e 3 di un altro:

* Scegliamo 2 colori tra i 4: C(4, 2) = 6.

* Per ogni coppia di colori, abbiamo C(8, 2) * C(8, 3) = 1568 combinazioni.

* Totale: 6 * 1568 = 9408.

f) Almeno un fante:

* Calcoliamo tutte le combinazioni possibili e sottraiamo quelle senza fanti:

   * Tutte le combinazioni: C(32, 5) = 201.376.

   * Senza fanti: C(28, 5) = 98.280.

   * Almeno un fante: 201.376 - 98.280 = 103.096.

g) Esattamente 3 carte di cuori ed esattamente 2 re:

* C(8, 3) * C(4, 2) * C(20, 0) = 1428.

Provo😊

c) 4 fanti + 28 non fanti

C(4,3) C(28,2) + C(4,4) C(28,1) =

= 4* 28*27/2 + 1* 28 =

= 28 * 55 = 1540

d) picche : 8 cuori : 8

C(8,3) * C(8,2) = 1568

e) C(16,3)*C(16,2) = 67200

questo numero va raddoppiato

perché possono essere 3 nere e 2 rosse o viceversa

134 400