[Risolto] Problema circoscritta triangolo isoscele e area esagono

Problema circonferenza circoscritta a triangolo isoscele e area esagono

La risoluzione dell'esercizio sta nel disegno di sopra.

In base alle relazioni del testo:

2/3·(24/25·D) + 3/5·D = 62 (in metri)

16·D/25 + 3/5·D = 62------> 31·D/25 = 62----> D = 50 m

r = D/2= raggio circonferenza= 25 m

AB = 24/25·50  = 48 m base triangolo isoscele

In base alla costruzione del testo, si deve avere:

{x + y = 50

{48/2 = √(x·y) (2° teorema di Euclide) con riferimento ai triangoli rettangoli CMB e CAM di figura

Le proiezioni dei cateti sono x ed y:

[x = 18 m ∧ y = 32 m, x = 32 m ∧ y = 18 m]

In base al 1° teorema di Euclide determiniamo i cateti:

c = √(x·(x + y))---> c = √(18·(18 + 32))----> c = 30 m

C = √(32·(32 + 18))----> C = 40 m

Quindi ad arrivare alla soluzione finale adesso ci puoi tentare anche tu. Ciao Luciano

ESAME DEI SOTTOPROBLEMI
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"non riesco a disegnare l'esagono"
Per tracciare il circumcerchio Γ hai già tracciato gli assi di due lati ottenendo il circumcentro K, per cui ti basta tracciare il terzo asse: le intersezioni assi-circumcerchio sono M, N, P (per consuetudine il nome R è riservato al circumraggio, che è un quarto del rapporto fra il prodotto dei lati e l'area).
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"Determinare l'area dell'esagono"
L'area dell'esagono è la somma di quelle dei sei triangoli isosceli che hanno un lato dell'esagono per base e la distanza da K per altezza; questa si deduce come cateto di un triangolo rettangolo che ha il circumraggio R per ipotenusa e, come altro cateto, la semicorda (metà del lato di base).
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Una coppia di lati congruenti dell'esagono (quelle adiacenti ai vertici M, N, P) consiste dei lati di gamba di un triangolo isoscele che ha per lato di base un lato di ABC e per altezza la freccia dell'arco tagliato su Γ (differenza fra R e la distanza da K).
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CALCOLI (non prometto di farli tutti)
Misure in m, m^2.
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"triangolo isoscele ABC" & "base AB"
* b = |AB|; L = |AC| = |BC|; h = √(L^2 - (b/2)^2); S = b*h/2 = (b/4)*√(4*L^2 - b^2)
* R = b*L^2/(4*S) = L^2/√(4*L^2 - b^2)
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"la somma di 2/3 della base AB con 3/5 del diametro della circonferenza circoscritta è m. 62"
* (2/3)*b + (3/5)*2*R = 62 ≡
≡ (2/3)*b + (3/5)*2*L^2/√(4*L^2 - b^2) = 62 ≡
≡ 9*L^2/√(4*L^2 - b^2) + 5*b = 465
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"la base è 24/25 del diametro"
* b = (24/25)*2*R ≡
≡ b = (24/25)*2*L^2/√(4*L^2 - b^2) ≡
≡ (L = (5/8)*b) oppure (L = (5/6)*b)
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* (L = (5/8)*b) & (9*L^2/√(4*L^2 - b^2) + 5*b = 465) ≡ (b = 48) & (L = 30)
oppure
* (L = (5/6)*b) & (9*L^2/√(4*L^2 - b^2) + 5*b = 465) ≡ (b = 48) & (L = 40)
Vedi
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle+edges+48%2C30%2C30+circumcircle
oppure
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle+edges+48%2C40%2C40+circumcircle
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Il fatto d'aver trovato due diversi triangoli che soddisfanno alle specificazioni mi blocca con il solito dubbio che però stavolta non è un dilemma perché di corni ne ha tre:
* io ho capito male qualcosa che tu hai scritto bene;
* io ho capito bene qualcosa che tu hai scritto male;
* l'autore del testo che tu hai riportato s'è dimenticato qualcosa nella tastiera.

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@Beppe e p.c. @LucianoP
SECONDA PARTE
Stanti le vostre rassicurazioni proseguo da dove m'ero stoppato ieri.
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Due triangoli isosceli T1 e T2 con
* lato di base b, lato di gamba L, circumraggio R = L^2/√(4*L^2 - b^2), altezza h = √(L^2 - b^2/4)
che si tracciano nello stesso circumcerchio Γ (di raggio R = 25) unendo gli estremi A e B del lato di base (b = 48) con gli estremi C1 ≡ M2 e C2 ≡ M1 del diametro ortogonale ad AB
T1: b = 48; L1 = 30; R = 25; h1 = 18
T2: b = 48; L2 = 40; R = 25; h2 = 32
Per le coincidenze C1 ≡ M2 e C2 ≡ M1 due lati dell'esagono relativo a T1 sono gli L2, e viceversa; perciò, da qualunque triangolo si inizi, l'esagono che si ottiene è il medesimo e dicendo "l'esagono AMBNCR" s'intende iniziare da T1: C ≡ C1, M ≡ M1 ≡ C2.
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Prima dell'area richiesta occorre determinare la distanza d delle corde AC e BC dal circumcentro K
* d = √(R^2 - (L/2)^2) = √(25^2 - (30/2)^2) = 20
i lati dell'esagono diversi da L2
* a = |AP| = |PC| = |CN| = |NB| = √((R - d)^2 + (L/2)^2) = √((25 - 20)^2 + (30/2)^2) = 5*√10
e la loro comune distanza da K
* √(R^2 - (a/2)^2) = √(25^2 - (5*√10/2)^2) = (15/2)*√10
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CONCLUSIONE
Come detto nell'esame del secondo sottoproblema, l'area S dell'esagono è la somma di quelle dei sei triangoli isosceli che hanno un lato dell'esagono per base b[i] e la distanza da K per altezza h[i]
* S = (Σ [i = 1, 6] b[i]*h[i])/2 =
= (4*(5*√10)*(15/2)*√10 + 2*40*32)/2 = 2030
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UFFA, che palletico! Basta così, mi arrendo. Quando mi passa il palletico, può essere che ci riprovi con altri mezzi (© Karl von Clausewitz, "Vom Kriege" 1832) stasera.
NB: "palletico" ≡ intenso nervosismo da frustrazione che induce ad aggrapparsi al lampadario.

24d/25*2/3+3d/5 = 93d/75 = 62

d = 62/93*75 = 75*2/3 = 50 cm 

base b = 50*24/25 = 48 cm

r = 25 cm 

prendo a prestito la figura di Luciano (che ringrazio e saluto)

la figura è simmetrica rispetto al diametro CM 

OH = √r^2-(b/2)^2 = √625-576 = 7,0 cm 

angolo KOB = arctan 0H /BH= arctan(7/24) = 16,26°

angolo MOB = 90-16,26 = 73,74 °

angolo JOM = 73,74/2 = 36,87°

MB = 2*r*sen 36,87° = 30,00 cm

triangolo MOB 

semiperimetro p = (50+30)/2 = 40

area = √40*(40-25)*(40-25)*(40-30) = 300,00 cm^2

triangolo CON

angolo COI = (90+16,26)/4 = 26,565°

NC = 2*r*sen 26,565° = 22,36 cm 

semiperimetro p = (50+22,36)/2 = 36,18 cm 

area = √36,18*(36,18-25)*(36,18-25)*(36,18-22,36) = 250,0 cm^2

l'area dell'esagono è pari a 2*MOB+4*CON = 250*4+300*2 = 1.600 cm^2

SECONDA RISPOSTA, TERZO TENTATIVO (e che er Celo nne la manni bbona!)
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In un riferimento Kxy definisco e/o calcolo
* Γ ≡ x^2 + y^2 = 25^2
* AB ≡ y = - 7
* AB & Γ ≡ (y = - 7) & (x^2 + y^2 = 25^2) ≡ A(- 24, - 7) oppure B(24, - 7)
* K(0, 0), C(0, 25), M(0, - 25)
Con N nel primo quadrante
* asse di BC ≡ y = (3/4)*x
* (asse di BC) & Γ & (N(x, y) nel primo quadrante) ≡
≡ (y = (3/4)*x) & (x^2 + y^2 = 25^2) & & (x > 0) & (y > 0) ≡ N(20, 15) → P(- 20, 15)
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Per l'area S dell'esagono AMBNCP uso la formula "a lacci da scarpe" di Gauss
http://it.wikipedia.org/wiki/Formula_dell%27area_di_Gauss
che FINALMENTE mi dà
* S = 1600
e la soddisfazione che la mia pazienza s'è meritata!
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Vedi il grafico e il paragrafo "Properties" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=polygon%28-24%2C-7%29%280%2C-25%29%2824%2C-7%29%2820%2C15%29%280%2C25%29%28-20%2C15%29