Calcola le equazioni delle due circonferenze y e y1 che hanno due punti in comune, A(3;1) e B(4;0).
Dopo calcola:
/le equazioni delle tangenti condotte dal punto Q(2;-6) a y1.
/nel fascio generato da y1 e y determina la circonferenza il cui centro si trova sulla bisettrice del secondo e quarto quadrante.
/determ
ina per quale valore di k il punto P(k+2;k) è interno a y1.
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@carlo_pinu sei sicuro del testo? per due punti passano infinite circonferenze, quindi come si trovano y e y1? oppure basta due delle infinite?
La circonferenza $\gamma 1$ passa per l'origine.
l'eq. della generica circonferenza è:
$x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ dove $a$ e $b$ sono le coordinate del centro e $c=a^2+b^2-R^2$ dove $R$ è il raggio.
il passaggio per l'origine fa sì che il termine noto $c=0$, quindi resta
$x^2+y^2-2ax-2by=0$
imponiamo il passaggio per B(4,0):
$16+0-2a*4-0=0$ --> $16-8a=0$ e quindi $a=2$
adesso siamo arrivati a $x^2+y^2-4x-2by=0$
imponiamo il passaggio per A(3,1)
$9+1-12-2b=0$ --> $b=-1$
la circonferenza $\gamma 1$ ha pertanto equazione
$x^2+y^2-4x+2y=0$ con centro $C(2,-1)$ e raggio $R=\sqrt{5}$
il segmento AB ha coefficiente angolare $\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}= \frac{1-0}{3-4}=-1$
Quindi il centro della seconda circonferenza deve stare sulla retta perpendicolare ad AB (quindi con coefficiente angolare +1) e passante per il centro di $\gamma 1$
Tale retta ha pertanto equazione $y=x+q$ e imponendo che passi per C si ottiene
$-1=2+q$ --> $q=-3$ e quindi $y=x-3$.
quindi se chiamiano $a_1$ e $b_1$ le coordinate del centro della seconda circonferenza, abbiamo $b_1=a_1-3$
l'equazione sarà pertanto del tipo:
$x^2+y^2-2a_1x-2(a_1-3)y+c_1=0$
adesso imponi il passaggio per B(4,0) e ottieni:
$16-8a_1+c_1=0$ --> $c_1=8a_1-16$
ma $c_1=a_1^2+b_1^2-R^2=a_1^2+a_1^2-6a_1+9-5=2a_1^2-6a_1+4$
Pertanto
$2a_1^2-6a_1+4=8a_1-16$ -->a_1^2-7a_1+10=0 le cui soluzioni sono $a_1=5$ e $a_1=2$ (già trovata per la circonferenza $\gamma 1$ )
Quindi la circonferenza $\gamma$ ha eq.:
$x^2+y^2-10x-4y+24=0$ il cui centro è $C_1(5,2)$ e $R=\sqrt{5}$
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@sebastiano grazie molto, ci tengo molto a questo problema, non avendolo saputo fare durante il compito, potresti darmi una mano anche per gli altri punti del problema? scusa l'orario
se non hai urgenza te li finisco domani. ci vuole tempo a scrivere passaggio per passagio e ora devo andare a letto che domani lavoro.
@sebastiano avrei una certa fretta, la prof mi vuole interrogare, se puoi sta sera, al massimo domani alle 9
per il punto b), determina per prima cosa il fascio di rette passante per Q(2,-6). Per fare questo prendi l'eq. di un generico fascio:
$y=mx+q$ e imponi il passaggio per Q. Troverai $y=mx+2m+6$
adesso imponi che la distanza fra questa retta e il centro di $\gamma 1$ C(2,-1) sia pari al raggio $R=\sqrt{5}$ tramite la formula della distanza punto-retta:
$\frac{|mx_0-y_0+2m+6|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt{5}$ -->
$\frac{|2m+1+2m+6|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt{5}$
$\frac{|4m+7|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt{5}$
$|4m+7|=\sqrt{5}\sqrt{m^2+1}$
elevando al quadrato:
$16m^2+56m+49=5m^2+5$
da qui ricavi $m_1$ e $m_2$ e quindi le tue due rette.
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Gli altri punti c e d?
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