Buona sera a tutti; pubblico il testo del seguente problema che non riesco a risolvere: un cerchio di centro O ha area 900 pi cm^2. Da un punto P esterno al cerchio conduci la tangente PA e traccia la corda AB perpendicolare a PO. Detta H l'intersezione tra AB e PO, si ha che PH è i 16/9 di OH . Determina l'area di ABP.
R. 768 cm^2. Ringrazio tutti coloro che vorranno rispondermi; possibilmente chiedo anche il disegno della figura geometrica.
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Livello 1
Misure in cm, cm^2.
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Se il cerchio di centro O ha area 900*π allora ha raggio r = 30.
Il segmento PO è diagonale dell'aquilone PAOB, e l'altra diagonale è AB: H è l'incrocio.
I triangoli speculari POA e POB sono rettangoli in A e in B con cateti il raggio e il segmento di tangente.
H è il piede dell'altezza sull'ipotenusa.
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Triangolo rettangolo OPA
Nomi
* a = |AO| = 30 = cateto minore
* b = |AP| = cateto maggiore
* c = |OP| = ipotenusa
* h = |AH| = altezza sull'ipotenusa
* p = |HO| = proiezione minore
* q = |HP| = proiezione maggiore
Relazioni
* S(ABP) = 2*h*q/2 = h*q = area richiesta
* h^2 = p*q (Euclide II)
* p/q = 9/16 (dato)
* p + q = c (ovvio)
** (c = (25/12)*h) & (p = (3/4)*h) & (q = (4/3)*h)
** S(ABP) = (4/3)*h^2
* c^2 = a^2 + b^2 ≡ ((25/12)*h)^2 = 900 + b^2 (Pitagora)
Qui scatta la mia solita malignità: vuoi vedere mai che va bene una bella soluzione intera?
Provo con (b, h) = (40, 24): se va male, ricomincio a cercare relazioni appetibili.
* S(ABP) = (4/3)*h^2 = (4/3)*24^2 = 768
che è proprio il risultato atteso: la malignità è andata bene!
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Genius I
Ciao grazie per la risposta e la velocità...a volte a pensar male ci si indovina. Buona serata a te e famiglia.
