[Risolto] Problema circonferenza

{x^2 + y^2 - 8·y + 11 = 0

{y = - 2·x + 5

risolvo ed ottengo:

[x = 2·√6/5 + 2/5 ∧ y = 21/5 - 4·√6/5 , x = 2/5 - 2·√6/5 ∧ y = 4·√6/5 + 21/5]

Quindi i due punti comuni A e B

Calcolo il punto medio:

{x = 1/2·(2·√6/5 + 2/5 + 2/5 - 2·√6/5)

{y = 1/2·(21/5 - 4·√6/5 + 4·√6/5 + 21/5)

quindi:

{x = 2/5

{y = 21/5

Determino la retta per tale punto e per il centro della circonferenza:

(y - 4)/(x - 0) = (21/5 - 4)/(2/5 - 0)

(y - 4)/(x - 0) = 1/2

y = x/2 + 4

che metto a sistema con la circonferenza stessa:

{x^2 + y^2 - 8·y + 11 = 0

{y = x/2 + 4

ed ottengo i due punti cercati:

[x = 2 ∧ y = 5, x = -2 ∧ y = 3]

C(-2, 3) e D(2,5)

I richiesti vertici C e D per ottenere triangoli isosceli devono essere sull'asse del segmento AB e per ottenere triangoli inscritti devono essere sulla circonferenza: cioè sono le intersezioni fra l'asse di AB e la circonferenza. Quindi i calcoli da fare sono:
1) intersecare la circonferenza con la retta data per trovare A e B;
2) calcolare il luogo dei punti equidistanti da A e B, l'asse di AB;
3) intersecare la circonferenza con l'asse di AB per trovare C e D.
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1) Le intersezioni fra retta e circonferenza delimitano il lato di base dei triangoli descritti
* (y = 5 - 2*x) & (x^2 + y^2 - 8*y + 11 = 0) ≡
≡ A((2 - 2*√6)/5, (21 + 4*√6)/5) oppure B((2 + 2*√6)/5, (21 - 4*√6)/5)
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2) Le distanze (al quadrato) del generico punto P(x, y) da A e B sono
* |PA|^2 = (5*x^2 + 5*y^2 + (4*√6 - 4)*x - (8*√6 + 42)*y + 32*√6 + 113)/5
* |PB|^2 = (5*x^2 + 5*y^2 - (4*√6 + 4)*x + (8*√6 - 42)*y - 32*√6 + 113)/5
e per i punti sull'asse, per definizione, sono eguali. Quindi l'equazione dell'asse è
* |PA|^2 = |PB|^2 ≡ (5*x^2 + 5*y^2 + (4*√6 - 4)*x - (8*√6 + 42)*y + 32*√6 + 113)/5 = (5*x^2 + 5*y^2 - (4*√6 + 4)*x + (8*√6 - 42)*y - 32*√6 + 113)/5 ≡
≡ y = x/2 + 4
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3) (y = x/2 + 4) & (x^2 + y^2 - 8*y + 11 = 0) ≡
≡ C(- 2, 3) oppure D(2, 5)
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Vedi ai link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx%5E2-8*y%3D-y%5E2-11%2C%28y-x%2F2-4%29*%285-2*x-y%29%3D0%5D
http://www.wolframalpha.com/input?i=polygon%28%282-2*%E2%88%9A6%29%2F5%2C%2821%2B4*%E2%88%9A6%29%2F5%29%28-2%2C3%29%28%282%2B2*%E2%88%9A6%29%2F5%2C%2821-4*%E2%88%9A6%29%2F5%29%282%2C5%29%28%282-2*%E2%88%9A6%29%2F5%2C%2821%2B4*%E2%88%9A6%29%2F5%29%28%282%2B2*%E2%88%9A6%29%2F5%2C%2821-4*%E2%88%9A6%29%2F5%29