Considera l’ellisse di equazione (x^2/16)+(y^2/4)=1. Indica con A il vertice dell'ellisse avente ascissa positiva e con B il vertice dell'ellisse avente ordinata positiva. Scrivi l'equazione della parabola che passa per A e B, avente come asse la retta di equazione x=9/4. Determina l'area della regione di piano limitata dall'arco AB di ellisse contenuto nel primo quadrante e dall'arco AB di parabola.
N.236
l’equazione della parabola l’ho trovata, la fornisce anche il libro: y=x^2-(9/2)x+2
II vertice della parabola ha ascissa $x_{v}=-\frac{b}{2 a}=\frac{9}{4}$ Inoltre la parabola passa per $\mathrm{A}(4 ; 0), \mathrm{B}(0 ; 2)$, da cui: $$ \left\{\begin{array}{c} 9 a+2 b=0 \\ 16 a+4 b+c=0 \Rightarrow\{ \\ c=2 \end{array} \quad \begin{array}{c} 9 a+2 b=0 \\ 8 a+2 b=-1 \end{array}\right. $$ Sottraendo la seconda dalla prima: $9 a-8 a=1 \Rightarrow a=1$ e infine $b=-\frac{9}{2} \cdot a=-\frac{9}{2}$ L'equazione della parabola è $\gamma_{2}: y=x^{2}-\frac{9}{2} x+2$ Per trovare l'area del segmento parabolico delimitato dalla corda $\mathrm{AB}$ prima troviamo il coefficiente angolare della retta per A e B: $$ m_{\mathrm{AB}}=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2} $$
Poi la retta tangente alla parabola con coefficiente angolare $\mathrm{m}_{\mathrm{AB}}$ : $$ -\frac{1}{2} x+q=x^{2}-\frac{9}{2} x+2 \Rightarrow x^{2}-4 x+2-q=0 \Rightarrow \frac{\Delta}{4}=4-2+q $$ Posto $\Delta / 4=0$ si trova $: q=-2 .$ ll punto di tangenza è $x_{D}=2$ e $y_{D}=4-\frac{9}{2} \cdot 2+2=-3$ La distanza HD del punto $D(2 ;-3)$ dalla retta $r_{\mathrm{AB}}: y=-\frac{1}{2} x+2 \Rightarrow r_{\mathrm{AB}}: x+2 y-4=0$ : $$ \mathrm{HD}=\frac{|2-6-4|}{\sqrt{1+4}}=\frac{8}{\sqrt{5}}=\frac{8}{5} \sqrt{5} \simeq 3.58 $$ La lunghezza di $\mathrm{AB}: \mathrm{AB}=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2 \sqrt{5} \simeq 4.47$ L'area del segmento parabolico è: Area $_{\mathrm{sp}}=\frac{2}{3} \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{DH}=\frac{2}{3} \cdot 2 \sqrt{5} \cdot \frac{8}{5} \sqrt{5}=\frac{32}{3}$ Per trovare l'area dell'ellisse compresa fra l'arco $\mathrm{AB}$ e il segmento $\mathrm{AB}$ si può sottrarre da un quarto dell'area dell'ellisse l'area del triangolo rettangolo AOB: $$ \text { Are } a_{\mathrm{se}}=\frac{\pi \mathrm{a} b}{4}-\frac{x_{A} y_{B}}{2}=\frac{\pi 2 \cdot 4}{4}-\frac{2 \cdot 4}{2}=2 \pi-4 $$ L'area richiesta è : Area $=$ Area $_{\mathrm{sp}}+$ Area $_{\mathrm{se}}=\frac{32}{3}+2 \pi-4=2 \pi+\frac{20}{3}$
L'ellisse data è * Γe ≡ (x/4)^2 + (y/2)^2 = 1 ≡ y = ± √(16 - x^2)/2 quindi i vertici sono * A(4, 0), B(0, 2), C(- 4, 0), D(0, - 2) ------------------------------ La retta * r ≡ x = 9/4 parallela all'asse y, è l'asse di simmetria della parabola incognita e quindi l'equazione ha la forma * Γp ≡ y = h + a*(x - 9/4)^2 i cui parametri (apertura "a != 0", ordinata di vertice "h") si trovano come soluzione del sistema di vincoli imposti dalle condizioni di passaggio per A e B * (0 = h + a*(4 - 9/4)^2) & (2 = h + a*(0 - 9/4)^2) & (a != 0) da cui * (a, h) = (1, - 49/16) * Γp ≡ y = (x - 9/4)^2 - 49/16 = (x - 1/2)*(x - 4) = x^2 - (9/2)*x + 2 che interseca l'ellisse, oltre che in A e B, anche in * P((5 - √7)/2, (- 5 - √7)/4), Q((5 + √7)/2, (- 5 + √7)/4) ------------------------------ L'area del segmento parabolico delimitato dalla corda AB è * S(BVA) = |a/6|*(|xA - xB|)^3 = 4^3/6 = 32/3 ------------------------------ L'area del segmento ellittico delimitato dalla corda AB è la differenza fra quella di un quarto d'ellisse (2*π) e quella del triangolo BOA (2*4/2 = 4) * S(BAB) = 2*π - 4 ------------------------------ L'area richiesta è la somma di quelle dei segmenti parabolico ed ellittico delimitati dalla corda AB * A = S(BVA) + S(BAB) = = 32/3 + 2*π - 4 = 20/3 + 2*π ~= 12.94985 ~= 12.95
