Tra i trapezi rettangoli del tipo in figura, di area uguale a $150 \mathrm{~cm}^2$, determina la misura dellaltezza del trapezio di perimetro minimo.
$[10 \mathrm{~cm}$ ]
Tra i trapezi rettangoli del tipo in figura, di area uguale a $150 \mathrm{~cm}^2$, determina la misura dellaltezza del trapezio di perimetro minimo.
$[10 \mathrm{~cm}$ ]
Ciao di nuovo.
Chiamiamo con μ la misura di DC=AH
Quindi si ha:
Α = 1/2·(√3·x + 2·μ)·x = area del trapezio
deve essere:
Α = 150 cm^2
quindi:
1/2·(√3·x + 2·μ)·x = 150 da cui:
√3·x^2/2 + μ·x = 150------> μ = √3·(100·√3 - x^2)/(2·x)
Quindi il perimetro:
2·p = (√3·x + 2·μ) + 3·x cioè:
2·p = x·(√3 + 3) + 2·μ = x·(√3 + 3) + 2·(√3·(100·√3 - x^2)/(2·x))
Semplificando:
2·p = 3·x + 300/x
a cui corrisponde la funzione somma del tipo y = a·x + b/x
con minimo in x = √(b/a) di valore pari a: y = 2·√(a·b)
Nel nostro caso:
si ha per x = √100----- x=10 cm
ymin=x = 2·√(3·300) = 60 cm
Altrimenti:
3·x + 300/x------> y'=dy/dx=3 - 300/x^2
studio derivata: 3 - 300/x^2 ≥ 0------> x ≤ -10 ∨ x ≥ 10
che indica che 10 cm è valore minimo per il perimetro 2p=y