Buona serata e buona settimana a tutti; vado a postare un problema algebrico dove ho incontrato delle difficoltà per giungere alla sua soluzione, anche perché il testo non fornisce la risposta. Chiedo gentilmente il vostro aiuto per capire lo svolgimento dell'esercizio. Ringrazio tutti anticipatamente.
Due numeri reali $x_1$ e $x_2$ sono tali che $x_1 \cdot x_2=\frac{1}{2}$. La somma dei loro quadrati supera di $2$ la somma dei loro reciproci.
Quali sono, se esistono, tali numeri?
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Livello 1
Ciao.
Diciamo:
P = α·β = 1/2 con α e β le due incognite.
(P = prodotto)
α^2 + β^2 = 2 + 1/α + 1/β
(quanto dice il testo)
(α + β)^2 - 2·α·β = 2 + (α + β)/(α·β)
sostituiamo il prodotto:
(α + β)^2 - 2·1/2 = 2 + (α + β)/(1/2)
(α + β)^2 - 1 = 2 + 2·(α + β)
S=α + β
equazione di 2° grado:
S^2 - 2·S - 3 = 0
risolvi ed ottieni: (s + 1)·(s - 3) = 0: s = 3 ∨ s = -1
x^2 - S·x + P = 0 (equazione ausiliaria)
per S=3
x^2 - 3·x + 1/2 = 0
risolvo ed ottengo: x = 3/2 - √7/2 ∨ x = √7/2 + 3/2
per S=-1:
x^2 + 1·x + 1/2 = 0
equazione impossibile (nell'ambito dei numeri reali)
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Genius II
Ciao ti ringrazio per la risposta e l'attenzione che poni alle mie domande. Ti auguro una buona serata (qui caldissima e afosa).
Buona sera. Anche qui fa caldo. Speriamo non duri molto. La mattina vado al mare con mia moglie . Con qualche bagno è possibile mitigare il problema..... Ho allentato un po' con @sosmatematica....anche perché sono poche le domande a cui rispondere.
Ciao grazie per la tua risposta sempre veloce, chiara e semplice da comprendere. Auguro a te e famiglia un'altrettanto CALDISSIMA serata (almeno qui dove vivo io non si respira).
La domanda «Quali sono, se esistono, tali numeri?» con un minimo di algebretta
* (x*y = 1/2) & (x^2 + y^2 = 1/x + 1/y + 2) ≡
≡ (x*y = 1/2) & (((x^2 + y^2 - 2)*x*y - x - y)/(x*y) = 0) ≡
≡ (x*y = 1/2) & (x^2 - 2*x + y^2 - 2*y - 2 = 0) ≡
≡ (x*y = 1/2) & ((x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2^2)
si trasforma nella più usuale «Quali sono le eventuali intersezioni fra l'iperbole "x*y = 1/2" e la circonferenza "(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2^2"?» a cui si risponde, come al solito, costruendo la risolvente da y = 1/(2*x)
* (x - 1)^2 + (1/(2*x) - 1)^2 - 4 = 0 ≡
≡ ((2*x^2 - 6*x + 1)*(2*x^2 + 2*x + 1))/(4*x^2) = 0 ≡
≡ ((2*x^2 - 6*x + 1 = 0) oppure (2*x^2 + 2*x + 1 = 0)) & (4*x^2 != 0) ≡
≡ (x = (3 ± √7)/2) oppure (x = (- 1 ± i)/2) ≡
≡ (x1 = (3 - √7)/2 ~= 0.177) oppure (x2 = (3 + √7)/2 ~= 2.82)
e da queste radici, che danno le ascisse delle due intersezioni, ricavare le ordinate
* y1 = 1/(2*x1) = 1/(2*(3 - √7)/2) = (3 + √7)/2 = x2
* y2 = 1/(2*x2) = 1/(2*(3 + √7)/2) = (3 - √7)/2 = x1
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Genius I
Ciao grazie per la tua risposta; buona giornata caldissima...
