[Risolto] problema algebrico

Trova due numeri razionali tali che la loro somma sia 7/6 e la somma dei loro reciproci sia 7/2

a = (7-6b)/6

6/(7-6b)+1/b = 7/2

(6b+7-6b)/(7-6b)*b = 7/2

14 = 49b-42b^2

2-7b+6b^2 = 0 

b = (7±√7^2-2*4*6 )/12 = (7+1)/12 = 2/3 

a = (7-1)/12 = 1/2

a+b = 2/3+1/2 = 7/6

1/a+1/b = 3/2+2 = 7/2

x1 + x2 = 7/6

1/x1 + 1/x2 = 7/2

la seconda si può riscrivere come

(x2 + x1)/(x1 x2) = 7/2

x1 x2/(x1 + x2) = 2/7

x1 x2 = 2/7 * 7/6 = 1/3

x1 e x2 sono le soluzioni di

t^2 - 7/6 t + 1/3 = 0

6t^2 - 7t + 2 = 0

t = (7 +- rad(49 - 48))/12 = 2/3 e 1/2

oppure 1/2 e 2/3

I due valori richiesti siano x e 7/6 - x.
I loro reciproci, 1/x e 1/(7/6 - x), hanno somma 7/(7*x - 6*x^2).
Il secondo dato fornisce l'equazione risolutiva
* 7/(7*x - 6*x^2) = 7/2 ≡
≡ 7*x - 6*x^2 = 2 ≡
≡ x^2 - (7/6)*x + 1/3 = 0
da qui si vede che la somma delle radici eguaglia quella dei valori richiesti che quindi sono le radici
* x = 1/2
oppure
* x = 2/3