Determina per quali valori di $a$ e $b$ le soluzioni dell'equazione $x^2+\left(a^2+b^2-4 a b\right) x+(a+b)=0$ hanno la somma uguale a 188 e il prodotto uguale a 26.
[8; 18]
anche con questo mi perdo in qualche passaggio.
Ringrazio e saluto
Determina per quali valori di $a$ e $b$ le soluzioni dell'equazione $x^2+\left(a^2+b^2-4 a b\right) x+(a+b)=0$ hanno la somma uguale a 188 e il prodotto uguale a 26.
[8; 18]
anche con questo mi perdo in qualche passaggio.
Ringrazio e saluto
432
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Livello 1
Data l'equazione di secondo grado
alfa*x²+beta * x+ gamma =0
la somma delle radici è - (beta/alfa)
il prodotto delle radici è (gamma /alfa)
Nel nostro caso quindi:
alfa=1
beta= (a²+b² - 4ab)
gamma= (a+b)
Dalle condizioni richieste si ricava il sistema
{4ab - (a²+b²) = 188
{(a+b)= 26
Poiché: (a²+b²) =(a+b)² - 2ab, possiamo riscrivere il precedente sistema in maniera equivalente:
{6ab - (a+b)² = 188
{a+b=26
{6ab - 26² = 188
{a+b=26
{ab=144
{a+b=26
x² - 26x + 144= 0
(x-18)(x-8)=0
x1= 8 ; x2= 18
Quindi i valori dei due parametri sono 8,18
(sistema simmetrico)
Ciao @salvonardyn
Buona serata
76643
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Genius II
@stefanopescetto grazie infinite Stefano, buona serata anche a te.
Spero sia chiaro il procedimento. Se hai dubbi scrivi... Buona serata
@stefanopescetto 👍👍👍
@stefanopescetto Ciao Stefano, ho appena studiato la soluzione che mi hai dato ed è tutto chiaro, non avevo pensato alle radici come -a/b e a/c. Ho appena pubblicato anche un esercizio già elaborato da me, mi farebbe piacere se lo controllassi, a tuo tempo... Thank you so much and have a nice time.
Il trinomio quadratico monico
* x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2)
con discriminante
* Δ = s^2 − 4*p
e zeri X = (s ± √Δ)/2, cioè
* X1 = (s - √Δ)/2
* X2 = (s + √Δ)/2
ha gli zeri X1 e X2 tali che X1 + X2 = s (somma) e X1 * X2 = p (prodotto).
Nel caso in cui i coefficienti (s, p) siano parametrici ogni vincolo si traduce in un'equazione nei parametri.
------------------------------
NEL CASO IN ESAME
* (s = - (a^2 + b^2 - 4*a*b) = 188) & (p = a + b = 26) ≡
≡ (a^2 + b^2 - 4*a*b + 188 = 0) & (a = 26 - b) ≡
≡ ((26 - b)^2 + b^2 - 4*(26 - b)*b + 188 = 0) & (a = 26 - b) ≡
≡ (6*(b - 8)*(b - 18) = 0) & (a = 26 - b) ≡
≡ (a, b) = (8, 18) oppure (a, b) = (18, 8)
57171
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Genius I
@exprof 👍👍👍