[Risolto] Problema…

Trovare due numeri che hanno somma 16 e prodotto 48.

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Conoscendo la somma poniamo i due numeri come segue:

1° numero $= n$;

2° numero $= 16-n$;

conoscendo anche il prodotto impostiamo la seguente equazione:

$n(16-n) = 48$

$16n -n^2 = 48$

$-n^2+16n = 48$

$n^2-16n = -48$

eguaglia a zero:

$n^2-16n+48 = 0$

equazione di 2° grado completa quindi risolviamo con i seguenti dati:

 $a= 1$;

$b=-16$;

$c= 48$;

$∆= b^2-4ac = (-16)^2-4·1·48 = 256-192 = 64$ (discriminante positivo per cui avremo due soluzioni reali e distinte);

applica la formula risolutiva:

$n_{1,2}= \dfrac{-b±\sqrt∆}{2a} = \dfrac{-(-16)±\sqrt{64}}{2·1} = \dfrac{16±8}{2}$;

le due soluzioni:

$n_1= \dfrac{16-8}{2} = \dfrac{8}{2}=4$;

$n_2= \dfrac{16+8}{2} = \dfrac{24}{2}=12$;

verifica:

$4+12 = 16$;

$4·12 = 48$.

Equazione ausiliaria:

x^2-sx+p=0

x^2-16x+48=0

x1=8-sqrt(64-48)=8-4=4

x2=8+4=12

Se di due valori sono noti somma 's' e prodotto 'p' essi sono gli zeri del trinomio quadratico monico che ha l'opposto di s come coefficiente del termine lineare e p come termine noto.
Nel caso della consegna «Trovare due numeri che hanno somma 16 e prodotto 48» il trinomio è
* x^2 - 16*x + 48
e si scompone con la procedura che Bramegupta pubblicò nel VII secolo: completare il quadrato dei termini variabili; scrivere il termine noto come opposto di un quadrato; applicare il prodotto notevole "differenza di quadrati"; semplificare; leggere i due numeri richiesti.
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A) x^2 - 16*x = (x - 8)^2 - 8^2
B) x^2 - 16*x + 48 = (x - 8)^2 - 8^2 + 48 = (x - 8)^2 - 16 = (x - 8)^2 - 4^2
C) (x - 8)^2 - 4^2 = (x - 8 + 4)*(x - 8 - 4)
D) (x - 8 + 4)*(x - 8 - 4) = (x - 4)*(x - 12)
E) I valori richiesti sono 4 e 12

Trovare due numeri che hanno somma 16 e prodotto 48

in che modo ?

per tentativi :

16-1 * 1 = 15 < 48  non va

16-2 * 2 = 28 < 48  non va

16-3 * 3 = 39 < 48  non va

16-4 * 4 = 48 =  48  here we are !!!

algebricamente 

a = 16-b

a*b = (16-b)*b = 48

48+b^2-16b = 0 

b = (16±√16^2-48*4*1)/2 = (16±8)/2 = 12 ; 4 

4 e 12

Ho paura che l'equazione di secondo grado  x^2 - 16x + 48 = 0

sia obbligatoria se non sai che sono interi. In questo caso

x^2 - 16x + 64 = 16

(x - 8)^2 = 4^2

x - 8 = +- 4

x = 8 +- 4 = 4 e 12

Altrimenti vai per tentativi

1e15 (15)

2e14 (28)

3e13 (39)

4e12 (48)

5e11 (55)

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