[Risolto] Problema 5, funzione

Dalla figura deduciamo che:

• Dominio = ℝ\{5}. E' presente un asintoto verticale di equazione x=5. Il denominatore si  annulla per x=5 quindi potrebbe essere (x-5) o qualcosa di simile.
• La funzione razionale fratta si annulla nei punti x = -1; x = 3 quindi potrebbe essere presente il prodotto (x+1)(x-3)
• E' presente un asintoto orizzontale di equazione y = 1, quindi 

$\displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} \frac {(x+1)(x-3)}{(x-5)^2} = 1 $

Grafico 

Ho preso in esame una funzione razionale fratta perché la figura mostra un asintoto verticale x=5 ed un asintoto orizzontale y=1. Quindi ho considerato una funzione del tipo:

y = (x^2 + b·x + c)/(x - 5)^2

per assicurare la presenza di tali asintoti. In particolare per l'asintoto verticale per x → 5 la funzione deve "sparare a +∞". Per l'unico asintoto orizzontale occorre che il rapporto fra i coefficienti del termine di grado massimo a numeratore ed a denominatore diano luogo ad 1. Per i coefficienti b e c ho imposto il passaggio per [-1, 0] ed ho sfruttato il fatto che ci sia un punto di stazionarietà in c=0.

La derivata della funzione è:

y'=(x·(b + 10) + 5·b + 2·c)/(5 - x)^3

Quindi sistema:

{(2·(b + 10) + 5·b + 2·c)/(5 - 2)^3 = 0

{0 = ((-1)^2 + b·(-1) + c)/(-1 - 5)^2

risolvendo:

{7·b/27 + 2·c/27 + 20/27 = 0

{b - c = 1

si ottiene: [b = -2 ∧ c = -3]

Funzione: y = (x^2 - 2·x - 3)/(x - 5)^2

https://www.desmos.com/calculator/twknzrzucg

Questa può andare ?