Problema

In un trapezio isoscele la base minore è lunga 3 cm e gli angoli adiacenti alla base maggiore hanno ampiezza di 30°. Sapendo che l'area del trapezio è 6 V3 cm², determina il perimetro del trapezio.

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Poni ciascun lato obliquo $lo=x$, quindi:

proiezione del lato obliquo $plo= cos(30°)·x = \frac{\sqrt{3}}{2}·x~cm$;

altezza $h= sen(30°)·x = 0,5x~cm$;

base minore $b=3~cm$;

base maggiore $B= b+2plo = 3+2×\frac{\sqrt{3}}{2}·x=3+\sqrt{3}x~cm$;

conoscendo l'area imposta la seguente equazione applicando la formula dell'area $A=\frac{(B+b)×h}{2}$:

$\frac{(3+\sqrt{3}x+3)×0,5x}{2}=6\sqrt{3}$

$\frac{(6+\sqrt{3}x)×0,5x}{2}=6\sqrt{3}$ moltiplica tutto per 2:

$(6+\sqrt{3}x)×0,5x = 12\sqrt{3}$

$3x +\frac{\sqrt{3}}{2}x^2 = 12\sqrt{3}$ moltiplica ancora tutto per 2:

$6x+\sqrt{3}x^2 = 24\sqrt{3}$ dividi tutto per $\sqrt{3}$:

$2\sqrt{3}x +x^2 =24$ riordina ed eguaglia a zero:

$x^2 +2\sqrt{3}x -24 = 0$

$a= 1$;

$b=2\sqrt{3}$;

$c= -24$;

$∆= (2\sqrt{3})^2 -(4×1×-24) = 12 -(-96) = 12+96 = 108$;

$x_{1,2}=\frac{-2\sqrt{3}±\sqrt{108}}{2×1} = \frac{-2\sqrt{3}±6\sqrt{3}}{2}$;

quindi:

$x_1= \frac{-2\sqrt{3}-6\sqrt{3}}{2}=\frac{-8\sqrt{3}}{2}= -4\sqrt{3}$;

$x_2= \frac{-2\sqrt{3}+6\sqrt{3}}{2}=\frac{+4\sqrt{3}}{2}= 2\sqrt{3}$;

per la $x$ prendiamo $x_2$ perché positivo, infatti un lato non può essere negativo;

risultati:

ciascun lato obliquo $lo=x= 2\sqrt{3}~cm$;

proiezione del lato obliquo $plo=\frac{\sqrt{3}}{2}·x= \frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{3}=3~cm$;

altezza $h=  0,5x=0,5×2\sqrt{3}=\sqrt{3}~cm$;

base minore $b=3~cm$;

base maggiore $B=3+\sqrt{3}×2\sqrt{3}=9~cm$;

perimetro $2p= B+b+2lo = 9+3+2×2\sqrt{3} = 12+4\sqrt{3}~cm~→(≅18,928~cm)$.