[Risolto] Problema

@manuel_di_giulio

Indichiamo con H l'intersezione della base maggiore AB con la // al lato obliquo condotta per il vertice D

L'area del triangolo AHD è congruente all'area del parallelogramma HBCD. (figure equivalenti per ipotesi) 

Indichiamo con:

x= base minore del trapezio = altezza del trapezio 

(x≠0)

Risulta:

x*x = (1/2)*(6-x)*x

(area parallelogramma = area triangolo rettangolo) 

Da cui si ricava:

3x² - 6x = 0

3x(x-2)=0

x=0  non accettabile 

x=2

La base minore e l'altezza del trapezio rettangolo misurano 2  cm. 

AH= (6-2) = 4 cm

HB = 2 cm

L'ipotenusa del triangolo rettangolo AHD, congruente con il lato obliquo del parallelogramma e del trapezio, è:

DH = radice [2² + (6-2)²] = radice (20)  cm

Quindi il lato obliquo del trapezio è radice (20) cm

Diciamo x il valore comune di b e h 

L'area del triangolo rettangolo ADK é uguale a quella del parallelogramma KBCD 

per cui risulta 

x*(6 - x)/2 = x * x    che, con x =/= 0, é equivalente a 

6 - x = 2x 

3x = 6

x = 2

Così AD = 2 cm = DB 

KB = (6 - 2) cm = 4 cm 

e per il Teorema di Pitagora su CKB 

BC^2 = KB^2 + CK^2  con Ck = AD

BC = rad (4^2 + 2^2) cm = rad(20) cm = 2 rad(5) cm

Guarda la figura:

A2 = b * h = h * h = h^2;  (A1 = A2)

A1 + A2 = 2 h^2, (area trapezio somma delle due aree equivalenti A1 + A2).

Area  trapezio = (B + b) * h / 2 = (6 + h) * h / 2;

Area trapezio = (6h + h^2) / 2;

2 h^2 = (6h + h^2) / 2;

4 h^2 = h2 + 6h;

4h^2 - h^2 - 6h = 0;

3h^2 - 6h = 0;

h^2 - 2h = 0;

h * (h - 2) = 0;

h = 0 cm; (prima soluzione da scartare).

h - 2 = 0;

h = 2 cm; (seconda soluzione),

b = h = 2 cm;

B = 6 cm;

HB = B - b = 4 cm; (differenza delle basi).

Lato obliquo si trova con Pitagora: è l'ipotenusa del triangolo rettangolo che ha per cateti h = 2 cm, e la differenza delle basi, HB =  6 - 2 = 4 cm.

BC = radicequadrata(2^2 + 4^2) = radice(20) = 4,47 cm; (lato obliquo).

Ciao  @manuel_di_giulio

AB = 6

AD = DC = x

DE // BC

DE = BC = BE = CD

area ADE = area BCDE

(6-x)*x/2 = x^2

6x-x^2 = 2x^2

6x = 3x^2

x = 2 

AE = AB-EB = 4 

DE = 2√1+2^2 = 2√5...più elegante di √20