Determino le soluzioni di:
x⁴ - 8x² - 9 =0
Posto:
x² = t - - > t² - 8t - 9 = 0
(t-9)(t+1) = 0 ==> t=9,t= - 1
Essendo x² = t, risulta:
x² = - 1 impossibile
x² = 9 ==> x1= - 3, x2 = 3
Abbiamo quindi determinato i due punti A, B
A=( - 3,0)
B=( 3,0)
Il punto C sull'asse x è tale che AO= 3*CO. Essendo:
AO= MODULO (xA - xO) = 3
il segmento CO avrà lunghezza pari ad 1 ed essendo xC< 0, le coordinate del punto C sono:
C=( - 1,0)
Le coordinate di D, simmetrico di C rispetto all'asse Y, sono
D=(1, 0)
L'equazione della circonferenza di centro O=(0,0) e diametro AB=MODULO (xA - xB) = 9 è:
x² + y² = 9
Scriviamo ora le equazioni delle semicirconfere aventi diametri AC, AD e situate nel semipiano positivo delle y.
Semicirconferenza AC:
AC= MODULO (xA - xC) = 2 - - > R=1
Il centro O1 ha coordinate:
O1= [(xA+xC) /2 , 0] = ( - 2,0)
L'equazione si ottiene dal sistema:
{y > 0
{ (x+2)² + y² = 1
Da cui si ricava:
y= + radice ( - x² - 4x - 3)
Semicirconferenza AD:
AD= MODULO (xA - xD) = 4 - - > R=2
Il centro O2 ha coordinate:
O2= [(xA + xD) /2, 0] = ( - 1,0)
L'equazione si ottiene dal sistema:
{y>0
{(x+1)² + y² = 4
Da cui si ricava:
y= + radice ( - x² - 2x + 3)
Con procedura analoga si determinano le equazioni delle semicirconferenze aventi diametri DB e CB, situate nel semipiano delle y negative.
Semicirconferenza DB:
{y< 0
{(x - 2)² + y² = 1
Da cui si ricava:
y= - radice ( - x² + 4x - 3)
Semicirconferenza CB:
{y<0
{(x-1)² + y² = 4
Da cui si ricava:
y= - radice ( - x² + 2x + 3)
L'area delimitata dalle quattro semicirconferenze è:
A= pi/2 * (2² - 1²) + pi/2 * (2² - 1²) = 3*pi
L'area del cerchio AB è:
A= pi* 3² = 9*pi
Quindi è il triplo della circonferenza superficie delimitata dalle quattro semicirconferenze.