[Risolto] Problema 2 media esagono

================================================

$AB = \dfrac{FC}{5} = \dfrac{50}{5} = 10\,cm;$

$ED= AB : \dfrac{5}{9} = \cancel{10}^2×\dfrac{9}{\cancel5_1} = 2×9 = 18\,cm;$

$FH= \dfrac{50-18}{2} = \dfrac{32}{2} = 16\,cm.$

Trapezio isoscele superiore (CDEF):

lato $EF=CD= \sqrt{(EH)^2+(FH)^2} = \sqrt{30^2+16^2} = 34\,cm$ $^{(1)}$

area $A_{(CDEF)}= \dfrac{(FC+ED)×EH}{2} = \dfrac{(50+18)×\cancel{30}^{15}}{\cancel2_1} = 68×15 = 1020\,cm^2.$ $^{(2)}$

Trapezio isoscele inferiore (ABCF):

calcola l'area conoscendo le aree dell'esagono e del trapezio di cui sopra:

area $A_{(ABCF)} = A_{(ABCDEF)}-A_{(CDEF)} = 1650-1020= 630\,cm^2;$

altezza $AK= \dfrac{2×A_{(ABCF)}}{FC+AB} = \dfrac{2×630}{50+10} = \dfrac{1260}{60}=21\,cm;$ $^{(3)}$

proiezione  $FK= \dfrac{FC-AB}{2} = \dfrac{50-10}{2} = \dfrac{40}{2} = 20\,cm;$

lato $AF=BC= \sqrt{(AK)^2+(FK)^2} = \sqrt{21^2+20^2} = 29\,cm$ $^{(1)}.$

Per cui il perimetro dell'esagono:

$2p_{(ABCDEF}= 18+10+2(29+34) = 28+2×63 = 28+ 126 = 154\,cm.$

Note:

$^{(1)}$ - Teorema di Pitagora.

$^{(2)}$ - Formula per calcolare l'area dei trapezi $A= \dfrac{(B+b)×h}{2}.$

$^{(3)}$ - Formula inversa per calcolare l'altezza dei trapezi $h= \dfrac{2A}{B+b}.$

So che FC = 50 cm, so anche che FC = 5*AB, quindi:

FC = 5*AB ---> 50 = 5*AB ---> AB = 50/5 = 10 cm

So che AB = 10 cm, so anche che AB = 5/9*ED, quindi:

AB = 5/9*ED ---> 10 = 5/9*ED ---> ED = 10*9/5 = 18 cm

Per calcolare il perimetro c'è bisogno di ED, EF, DC, FA, CB e AB

Ci resta calcolare i lati obliqui dove DC = EF e FA = CB

Per calcolare EF usiamo il teorema di pitagora considerando come cateti EH e FH

FH si calcola con (FC-ED)/2 ---> (50-18)/2 = 16 cm

Calcoliamo EF

EF = √(FH^2 + EH^2) = √(16^2 + 30^2) = 34 cm, anche DC = 34 cm

Adesso calcoliamo l'area del trapezio FEDC, facendo la differenza tra l'area dell'esagono e del trapezio appena calcolato, possiamo trovare l'area del trapezio FABC

A(FEDC) = [(FC+ED)*EH]/2 = [(50+18)*30]/2 = 1020 cm^2

Calcoliamo l'area del trapezio FABC = A(esagono) - A(FEDC) = 1650 - 1020 = 630 cm^2

Con quest'area possiamo calcolare l'altezza AK (il punto K l'ho preso io)

AK = (2*A)/(FC+AB) = (2*630)/(50+10) = 21 cm

Per calcolare FA ci serviamo di FK

FK = (FC - AB)/2 = (50 - 10)/2 = 20 cm

Calcoliamo adesso FA con il modo di prima solo con dati diversi

FA = √(AK^2 + FK^2) = √(21^2 + 20^2) = 29 cm anche CB = 29 cm

Per calcolare il perimetro sommiamo tutti i lati esterni

2p = ED+EF+DC+FA+BC+AB = 18+34+34+29+29+10 = 154 cm