[Risolto] Problema

Le case giapponesi che si ispirano allo stile tradizionale hanno spesso il tetto a forma di trapezio isoscele. In questo caso il perimetro e di 26 m, il lato obliquo misura 5 m e le basi sono una il triplo dell'altra. Calcola l'area del tetto.

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Somma delle basi $B+b= 2p-2×lo = 26-2×5 = 26-10 = 16\,m;$

conoscendo anche il rapporto tra le basi (3/1) calcola come segue:

base maggiore $B= \dfrac{16}{3+1}×4 = \dfrac{\cancel{16}^4}{\cancel4_1}×3 = 4×3 = 12\,m;$

base minore $b= 16-12 = 4\,m;$

proiezione del lato obliquo sulla base maggiore $plo= \dfrac{B-b}{2} = \dfrac{12-4}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\,m;$

altezza $h= \sqrt{(lo)^2-(plo)^2} = \sqrt{5^2-4^2} = 3\,m$ (teorema di Pitagora);

area $A= \dfrac{(B+b)×h}{2} = \dfrac{(12+4)×3}{2} = \dfrac{\cancel{16}^8×3}{\cancel2_1} = 8×3 = 24\,m^2.$  

Dal perimetro si ricavano

\[P = B + b + 2l \:\Bigg|_{\substack{B = 3b}} = 4b + 10 \implies b = \frac{26 - 10}{4} = 4\:m \implies B = 3b = 12\:m\,.\]

L'altezza del trapezio si ricava utilizzando il Teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo formato dall'altezza, dalla differenza delle basi e il lato obliquo:

\[l^2 = h^2 + \left(\frac{B - b}{2}\right)^2 \implies h^2 = l^2 - \left(\frac{B - b}{2}\right)^2  \iff h = 3\:m\,.\]

Allora l'area del trapezio è data da 

\[\mathcal{A} = \frac{1}{2} \cdot (B + b) \cdot h = 24\:m^2\,.\]