problema 1 superiore con equazioni

Il poligono dato è un rettangolo, che non è un poligono regolare in questo caso, però ti viene data un'informazione importante, ovvero che la base $\overline{AB}$ è il doppio del lato $\overline{BC}$, questo si traduce in equazione a $\overline{AB} = 2\overline{BC}$. I quattro lati del rettangolo sono uguali a coppie, ciò significa che il perimetro è $P=2 \overline{AB} + 2\overline{BC} = 2(\overline{AB} + \overline{BC})$. Sapendo che però $\overline{AB} = 2\overline{BC}$, possiamo scrivere che $P=2(2\overline{BC} + \overline{BC}) = 6 \overline{BC}$, sapendo che il perimetro è $24cm$, possiamo scrivere che $6\overline{BC} = 24cm \implies \overline{BC} = 4cm$ e dalla relazione data nel testo $\overline{AB} = 4cm \times 2 = 8cm$ (puoi verificare notando che la somma dei lati sia effettivamente di $24cm$).

Per risolvere la domanda in $\textbf{b.}$ guarda attentamente questo disegno (che non è in scala), nota che $\overline{AP} + \overline{PB} = \overline{AB} = 8cm \implies \overline{PB} = 8cm - \overline{AP}$, allo stesso modo possiamo dire che $\overline{QD} = 8cm -\overline{QC}$ . Il punto $Q$ sul lato $\overline{CD}$ è tale che $\overline{QC} = \overline{AP} + 2cm$. Ricapitolando sappiamo che:

$\overline{AP} + \frac{2}{3} \overline{PB} = \overline{QD} + \frac{1}{2} \overline{QC}$

$\overline{QC} = \overline{AP} + 2cm$

$\overline{DQ} = 8cm - \overline{QC} = 8cm - \overline{AP} - 2cm = 6cm- \overline{AP}$

$\overline{PB} = 8cm- \overline{AP}$

Sosituiamo tutto in termini di $\overline{AP}$ nell'equazione data e ricaveremo un'equazione ad un'incognita:

$\overline{AP} + \frac{2}{3} (8cm - \overline{AP}) = 6cm - \overline{AP} + \frac{1}{2} (\overline{AP} + 2cm)$ Moltiplichiamo tutto per $6$:

$6 \overline{AP} + 4(8cm-\overline{AP}) = 36cm - 6\overline{AP} + 3(\overline{AP}+2cm)$

$6 \overline{AP} + 32cm - 4\overline{AP} = 36cm - 6 \overline{AP} + 3 \overline{AP} + 6cm$

$6 \overline{AP} + 6\overline{AP} - 4 \overline{AP} -3 \overline{AP} = 36cm - 32cm +6cm$

$5\overline{AP} = 10cm$

$\overline{AP} = 2cm$

A questo punto dalle relazioni che abbiamo esplicitato prima:

$\overline{QC} = \overline{AP} +2cm = 2cm + 2cm = 4cm$

$\overline{DQ} = 8cm-4cm = 4cm$

$\overline{PB} = 8cm - 2cm = 6cm$.

Adesso che abbiamo tutte le basi e sappiamo che le altezze sono i lati $\overline{BC} = \overline{AD}$ (perché sono perpendicolari alle basi dei trapezi), possiamo calcolare le aree:

$A_{APQD}= \frac{(B_1+b_1)h}{2} =(2cm+4m) \times 4cm \times \frac{1}{2} = 6 cm \times 4 cm \times \frac{1}{2} = 12cm^2$

$A_{PBCQ} = \frac{(B_2+b_2)h}{2} = (6cm+4cm) \times 4cm \times \frac{1}{2} = 10 cm \times 4cm \times \frac{1}{2} = 20cm^2$

Imparerai a risolvere questi problemi più elegantemente quando l'anno prossimo studierai i sistemi di equazioni, in questa soluzione non li ho usati per assicurarmi che tu capissi, l'ho risolto come io li risolvevo alle scuole medie, in ogni caso l'atto di sostituire un valore per un altro per ricavare un'equazione ad una sola incognita è tipico dei sistemi di equazioni, ma anche un'operazione abbastanza intuitiva e semplice da capire, per questo l'ho utilizzata in questa risposta.