(a) Sapendo che $\mathbb{E}[Y]=\frac{1}{6}$, completare la tabella della densità.
(b) Calcolare $\mathbb{E}[X], \operatorname{Var}(X), \operatorname{Var}(Y), \operatorname{Cov}(X, Y)$.
(c) Consideriamo $W=X+Y$, calcolare la densità di $W, \mathbb{E}[W], \operatorname{Var}(W)$.
(d) Calcolare $\operatorname{Cov}(W, X), \operatorname{Cov}(W, Y), \operatorname{Cov}(W, X-Y)$
Aiutatemi gentilmente a risolvere l’ultimo punto dell’ esercizio,grazie!
44
punti
Livello 0
\[\operatorname{Cov}{[W,X]} = \operatorname{E}{[WX]} - \operatorname{E}{[W]}\operatorname{E}{[X]} \:\Bigg|_{\substack{W = X + Y}} \implies\]
\[\operatorname{Cov}{[W,X]} = \operatorname{Cov}{[X + Y,X]} = \operatorname{Cov}{[X,X]} + \operatorname{Cov}{[Y,X]} = \operatorname{Var}{[X]} + \operatorname{Cov}{[Y,X]} =\]
\[= \frac{3}{16} + \frac{1}{24} = \frac{11}{48}\,.\]
\[\operatorname{Cov}{[W,Y]} = \operatorname{E}{[WY]} - \operatorname{E}{[W]}\operatorname{E}{[WY]}\:\Bigg|_{\substack{W = X + Y}} \implies\]
\[\operatorname{Cov}{[W,Y]} = \operatorname{Cov}{[X + Y,Y]} = \operatorname{Cov}{[X,Y]} + \operatorname{Cov}{[Y,Y]} = \operatorname{Cov}{[X,Y]} + \operatorname{Var}{[Y]} =\]
\[= \frac{1}{24} + \frac{29}{36} = \frac{61}{72}\,.\]
\[\operatorname{Cov}{[W,X - Y]} = \operatorname{E}{[W(X - Y)]} - \operatorname{E}{[W]}\operatorname{E}{[X - Y]} \:\Bigg|_{\substack{W = X + Y}} \implies\]
\[\operatorname{Cov}{[W,X - Y]} = \operatorname{Cov}{[X + Y,X - Y]} = \operatorname{Cov}{[X,X - Y]} + \operatorname{Cov}{[Y,X - Y]} \implies\]
\[\operatorname{Cov}{[W,X - Y]} = \operatorname{Cov}{[X,X]} - \operatorname{Cov}{[X,Y]} + \operatorname{Cov}{[Y,X]} - \operatorname{Cov}{[Y,Y]} = \frac{7}{48} - \frac{55}{72} = -\frac{89}{144}\,.\]
(a meno di errori di calcolo)
3531
punti
Livello 5
