[Risolto] Probabilità e calcolo combinatorio

Casi possibili

p = C(18,5)*C(13,6)*C(7,7)

Casi favorevoli : si possono sommare perché per costruzione sono

incompatibili

[ due in G5 ]

il gruppo da 5 é formato da due di loro e tre degli altri

scelti fra 18 - 3 = 15 perché non ci deve essere l'altra

C(2,2)*C(15,3)*C(13,6)*C(7,7)

analogamente

[ due in G6 ]

C(2,2)*C(15,4)*C(12,5)*C(7,7)

[ due in G7 ]

C(2,2)*C(15,5)*C(11,5)*C(6,6)

e quindi calcolando e sommando

Pr [E*] = (780780 + 1081080 + 1387386)/14702688 =

= 3249246/14702688 = 541/2448 = 22.1%

Tutti i casi possibili sono dati dal prodotto delle combinazioni semplici:

\[\binom{18}{5} \cdot \binom{13}{6} \cdot \binom{7}{7}\,.\]

I casi in cui due devono far parte del gruppo da $5\,$, esclusa la terza sono

\[\binom{15}{3} \cdot \binom{13}{6} \cdot \binom{7}{7}\,.\]

I casi in cui due devono far parte del gruppo da $6\,$, esclusa la terza sono

\[\binom{15}{4} \cdot \binom{12}{5} \cdot \binom{7}{7}\,.\]

I casi in cui due devono far parte del gruppo da $7\,$, esclusa la terza sono

\[\binom{15}{5} \cdot \binom{11}{6} \cdot \binom{5}{5}\,.\]

Tutti i casi possibili si calcolano sommando i precedenti e, per il principio di moltiplicazione, moltiplicando per tre il risultato in quanto le possibili disposizioni sono tre:

\[P = \frac{3 \cdot \left(\binom{15}{3} \cdot \binom{13}{6} \cdot \binom{7}{7} + \binom{15}{4} \cdot \binom{12}{5} \cdot \binom{7}{7} + \binom{15}{5} \cdot \binom{11}{6} \cdot \binom{5}{5}\right)}{\binom{18}{5} \cdot \binom{13}{6} \binom{7}{7}} \approx 66,4\%\,.\]

Quesito 2