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[Risolto] Probabilità di 6 dadi lanciati 4 volte

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Salve a tutti! Sono alle prese con un quesito che non riesce ad uscirmi bene.. Molto brevemente devo calcolare la probabilità che lanciando 6 dadi 4 volte mi esca il tre almeno due volte..

Praticamente ho cercato di svolgerlo con Bernoulli in due modi:

P(x maggiore uguale 2)= p(x=2)+p(x=3)

P(x=2)(4,2) (1/6)^2 (5/6)^2  4!/2! 2! 150/1296

P(x=3)(4,3) (1/6)^3 5/6 4!/3!1! 20/1296

 150/1296 +20/1296 = 170/1296

Altro modo:

P(x maggiore uguale 2)= 1-p(x minore di due)

                                              1-p(x=0)+p(x=1)

P(x=0) (4,0) (5/6)^4 4!/0!4! 625/1296

P(x=1) (4,1) 1/6 (5/6)^3 4!/1!3! 500/1296

1- 1125/1296 = 171/1296

Ho cercato di scrivere tutti i passaggi, ma c'è evidentemente qualcosa che non va.. I risultati dovrebbero uscire uguali .. Probabilmente sarà una mia svista o non so, ma non so dove possa aver errato. Grazie chiunque voglia rispondermi cortesemente 🙏🏻

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lalla_12
lalla_12 
(@lalla_12)

33 punti
livello: Livello 0
28 Risposte
9 0 19
17/07/2023 17:49

@lalla_12 

Te lo sei inventato tu oppure l'hai preso da qualche testo? Non mi sembra chiaro il quesito proposto...

Da LucianoP 17/07/2023 18:04
 

Da un test online, però non dava nessuna risposta esatta.. Ho voluto risolverlo ma mi sono ritrovata così praticamente 

Da lalla_12 Autore 17/07/2023 18:07
 

@lalla_12 

Buon pomeriggio. Ho risolto il problema che hai proposto. Credo sia corretta la risoluzione. Fammi sapere qualcosa.

Da LucianoP 18/07/2023 16:00
 
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4 Risposte



2

Lanciando i 6 dadi una sola volta:

P(X=2)=COMB(6, 2)·(1/6)^2·(5/6)^4 = 3125/15552

P(X=3)=COMB(6, 3)·(1/6)^3·(5/6)^3 = 625/11664

P(X=4)=COMB(6, 4)·(1/6)^4·(5/6)^2 = 125/15552

P(X=5)=COMB(6, 5)·(1/6)^5·(5/6)^1 = 5/7776

P(X=6)=COMB(6, 6)·(1/6)^6·(5/6)^0 = 1/46656

Quindi la probabilità che si realizzi quanto richiesto lanciando una sola volta i dadi è:

3125/15552 + 625/11664 + 125/15552 + 5/7776 + 1/46656 = 12281/46656

Se di lanci se ne fanno 4 bisogna pensare ad un'altra bernoulliana con n =4 con p quello trovato sopra in neretto e con numero di successi almeno uno.

p = 12281/46656; q = 1 - 12281/46656 = 34375/46656

COMB(4, 1)·12281/46656·(34375/46656)^3 = 0.4211063923

COMB(4, 2)·(12281/46656)^2·(34375/46656)^2 = 0.2256701500

COMB(4, 3)·(12281/46656)^3·(34375/46656) = 0.05374943247

COMB(4, 4)·(12281/46656)^4·(34375/46656)^0 = 0.004800703856

Quindi:

0.4211063923 + 0.22567015 + 0.05374943247 + 0.004800703856 = 0.7053266786

70.5 % la probabilità richiesta

 

LucianoP
LucianoP 
(@lucianop)

90143 punti
livello: Genius II
15862 Risposte
5 5051 3246
18/07/2023 07:37

@lucianop grazie moltissimo per le risposte

Mi sono ritrovata in parte, ho capito che questo dunque sia il passaggio comune:

P(x=0) (6,0) (5/6)^6= 15625/46656

P(x=1) (6,1) (1/6)^1 (5/6)^5= 3125/7776

P(x=2) (6,2) (1/6)^2 (5/6)^4 =3125 /15552

P(x=3) (6,3) (1/6)^3 (5/6)^3=625/1164

P(x=4) (6,4) (1/6)^4 (5/6)^2 =125/15552

P(x=5) (6,5) (1/6)^5 5/6= 5/7776

P(x=6) (6,6) (1/6)^6=1/46656

Quindi: p(x>0) = p(x=0) 1-(5/6)^6

1- (15625/46656) =31031/46656

 probabilità di 6 dadi lanciati 4 volte con almeno una volta il numero tre apparso

Bernoulli seconda volta stavolta con parametro n=4 p= 31031/46656

P(x=0) (4,0) (1-31031/46656)^4

P(x=1) (4,1) 31031/46656 (1-31031/46656) ^3

P(x=2) (4,2) (31031/46656) ^2 (1-31031/46656)^2

P(x=3) (4,3) (31031/46656)^3 (1-31031/46656)

P(x=4) (4,4) (31031/46656)^4

P(x>1) =P(x =1) 1-(31031/46656) ^3

probabilità di 6 dadi lanciati 4 volte con almeno due volte il numero tre apparso

Non so se sia giusto questo procedimento 

Da lalla_12 Autore 18/07/2023 21:24
 

@lucianop

grazie moltissimo per le risposte, rettifico un passaggio:

Mi sono ritrovata in parte, ho capito che questo dunque sia il passaggio comune:

P(x=0) (6,0) (5/6)^6= 15625/46656

P(x=1) (6,1) (1/6)^1 (5/6)^5= 3125/7776

P(x=2) (6,2) (1/6)^2 (5/6)^4 =3125 /15552

P(x=3) (6,3) (1/6)^3 (5/6)^3=625/1164

P(x=4) (6,4) (1/6)^4 (5/6)^2 =125/15552

P(x=5) (6,5) (1/6)^5 5/6= 5/7776

P(x=6) (6,6) (1/6)^6=1/46656

Quindi: p(x>0) = p(x=0) 1-(5/6)^6

1- (15625/46656) =31031/46656

 probabilità di 6 dadi lanciati 4 volte con almeno una volta il numero tre apparso

Bernoulli seconda volta stavolta con parametro n=4 p= 31031/46656

P(x=0) (4,0) (1-31031/46656)^4

P(x=1) (4,1) 31031/46656 (1-31031/46656) ^3

P(x=2) (4,2) (31031/46656) ^2 (1-31031/46656)^2

P(x=3) (4,3) (31031/46656)^3 (1-31031/46656)

P(x=4) (4,4) (31031/46656)^4

P(x>1) =P(x =1) il risultato di questa probabilità quindi:(x=1) (4,1) 31031/46656 (1-31031/46656) ^3

Però con il 1- davanti perché é almeno due volte 

probabilità di 6 dadi lanciati 4 volte con almeno due volte il numero tre apparso

Non so se sia giusto questo procedimento

Da lalla_12 Autore 19/07/2023 10:17
 
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1

Lanciando un dado equo sei volte (come lanciarne sei tutt'insieme una volta) con la probabilità di successo che è p = 1/6 e quella d'insuccesso q = 5/6, si ha la distribuzione di probabilità
* P(X = k) = C(n, k)*(p^k)*q^(n - k) =
= C(6, k)*(1/6^k)*(5/6)^(n - k) =
= C(6, k)*(1/6^k)*(5/6)^(6 - k) ≡
≡ {k, P(X = k)} ∈ {{0, 15625/46656}, {1, 3125/7776}, {2, 3125/15552}, {3, 625/11664}, {4, 125/15552}, {5, 5/7776}, {6, 1/46656}}
da cui "la probabilità che lanciando 6 dadi 4 volte esca il tre almeno UNA volta" è
* P(X > 0) = 1 - P(X = 0) = 1 - 15625/46656 = 31031/46656 ~= 0.665
-----------------------------
"la probabilità che lanciando 6 dadi 4 volte mi esca il tre almeno due volte" è P(X > 1) su un'altra bernoulliana con n = 4 e p = 31031/46656

exProf
exProf 
(@exprof)

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13651 Risposte
37 3109 1797
17/07/2023 22:06

@exprof grazie per la risposta,seppur troppo difficile per me da comprendere 

Mi stavo chiedendo se fosse giusto anche questo altro tipo di ragionamento un po' più semplice 

P(x=0) (24,0) (5/6)^24 24!/0!24!

P(x=1) (24,1) (1/6)^1 (5/6)^23 24!/1!23!

1-[p(x<2)], quindi 1-[p(x=0)+p(x=1)]

Avevo visto un quesito simile anche se senza il caso complementare

' lanciando due dadi per 5 volte, probabilità di ottenere uno e un solo sei, numero s' intende'

Un utente propose appunto questa soluzione infatti:

(10,1) 1/6 (5/6)^9 10!/1!9!= 0,323

Da lalla_12 Autore 17/07/2023 22:51
 
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Se lanci 6 dadi non ti può uscire meno di 6.

 

EidosM
EidosM 
(@eidosm)

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17/07/2023 19:44

@eidosm allora suppongo sia proprio sbagliato il testo, grazie per la gentile risposta! Lo segnaleró! É da ieri che mi sto impazzendo

Da lalla_12 Autore 17/07/2023 20:03
 

@eidosm anche se comunque penso fortemente che si riferisca al tre come numero, non come la somma data dalle combinazione dei 6 dadi

Da lalla_12 Autore 17/07/2023 20:20
 

La probabilità che non esca mai un tre é 

((5/6)^6)^4 = (5/6)^24

che ne esca solo uno é 

4*C(6,5) * (5/6)^5*(1/6) = 24*5^5/6^6

Fai la somma e sottrai da 1

Da EidosM 17/07/2023 21:13
 
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Potrebbe anche uscire più di un 3 in un solo lancio. 

EidosM
EidosM 
(@eidosm)

45559 punti
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8021 Risposte
36 2812 1006
17/07/2023 21:07
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