Un’urna contiene 2 sfere bianche, 2 sfere rosse, 2 cubi bianchi e 2 cubi Rossi.
Sia B la variabile aleatoria che conta il numero di solidi bianchi estratti in due estrazioni e C la variabile aleatoria che conta il numero di cubi estratti in due estrazioni. Determina:
- se B e C sono indipendenti quando le estrazioni sono senza rimessa e se lo sono con rimessa
Non riesco ad applicare la teoria.
95
punti
Livello 1
Ne svolgo solo una parte perché ora non ho tempo.
B può essere 0,1,2
Senza rimessa risulta
Pr[B = k] = C(4,k)*C(4,2-k)/C(8,2) ovvero
6/28 16/28 6/28
oppure
3/14 4/7 3/14
e lo stesso vale per C
Osserviamo inoltre che
Pr [B = 0 & C = 0] = Pr [ due sfere rosse ] = C(2,2)*C(6,0)/C(8,2) = 1/28
che non é (3/14)^2
allora B e C non sono indipendenti senza rimessa.
Con rimessa invece sia B che C valgono 0,1,2 con probabilità
1/4 1/2 1/4
e puoi provare a fare un ragionamento simile a quello esposto.
Intuitivamente dovrebbero essere indipendenti perché lo sono le estrazioni ma per una discussione rigorosa dovresti svolgere le 9 verifiche
Pr [B = h, C=k] = Pr[B=h] ×Pr[C=k]
e puoi farlo da sola.
Ad esempio
Pr [ B = 0 & C = 0 ] = Pr [ sfera rossa, sfera rossa ] = 2/8 * 2/8 = 1/16
che é 1/4 * 1/4
Pr [ B = 1 & C = 0 ] = Pr [ sfera bianca e sfera ] = 2/8 * 4/8 = 1/8
che é 1/2 * 1/4
etc.
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Livello 7
